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2.7 KiB
TeX
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TeX
\Part[
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\eng{Mechanics}
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\ger{Mechanik}
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]{mech}
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\Section[
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\eng{Misc}
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\ger{Verschiedenes}
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]{misc}
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\begin{formula}{hook}
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\desc{Hooke's law}{}{$F$ \qtyRef{force}, $D$ \qtyRef{spring_constant}, $\Delta l$ spring length}
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\desc[german]{Hookesches Gesetz}{}{$F$ \qtyRef{force}, $D$ \qtyRef{spring_constant}, $\Delta l$ Federlänge}
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\eq{
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F = D\Delta l
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}
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\end{formula}
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\def\lagrange{\mathcal{L}}
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\Section[
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\eng{Lagrange formalism}
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\ger{Lagrange Formalismus}
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]{lagrange}
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\begin{ttext}[desc]
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\eng{The Lagrange formalism is often the most simple approach the get the equations of motion,
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because with suitable generalied coordinates obtaining the Lagrange function is often relatively easy.
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}
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\ger{Der Lagrange-Formalsismus ist oft der einfachste Weg die Bewegungsgleichungen zu erhalten,
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da das Aufstellen der Lagrange-Funktion mit geeigneten generalisierten Koordinaten oft relativ einfach ist.
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}
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\end{ttext}
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\begin{ttext}[generalized_coords]
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\eng{
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The generalized coordinates are choosen so that the cronstraints are automatically fullfilled.
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For example, the generalized coordinate for a 2D pendelum is $q=\varphi$, with $\vec{x} = \begin{pmatrix} \cos\varphi \\ \sin\varphi \end{pmatrix}$.
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}
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\ger{
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Die generalisierten Koordinaten werden so gewählt, dass die Zwangsbedingungen automatisch erfüllt sind.
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Zum Beispiel findet man für ein 2D Pendel die generalisierte Koordinate $q=\varphi$, mit $\vec{x} = \begin{pmatrix} \cos\varphi \\ \sin\varphi \end{pmatrix}$.
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}
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\end{ttext}
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\begin{formula}{lagrangian}
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\desc{Lagrange function}{}{$T$ kinetic energy, $V$ potential energy }
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\desc[german]{Lagrange-Funktion}{}{$T$ kinetische Energie, $V$ potentielle Energie}
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\eq{\lagrange = T - V}
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\end{formula}
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\begin{formula}{equation}
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\desc{Lagrange equations (2nd type)}{}{$q$ generalized coordinates}
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\desc[german]{Lagrange-Gleichungen (zweiter Art)}{}{$q$ generalisierte Koordinaten}
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\eq{\odv{}{t} \pdv{\lagrange}{\dot{q_i}} - \pdv{\lagrange}{q_i} = 0}
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\end{formula}
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\begin{formula}{momentum}
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\desc{Canocial Momentum}{}{}
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\desc[german]{Kanonischer Impuls}{}{}
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\eq{p = \pdv{\lagrange}{\dot{q}}}
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\end{formula}
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\begin{formula}{hamiltonian}
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\desc{Hamiltonian}{Hamiltonian can be derived from the Lagrangian using a Legendre transformation}{}
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\desc[german]{Hamiltonian}{Den Hamiltonian bekommt man aus dem Lagrangian über eine Legendre Transformation}{}
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\eq{H(q,p) = p\,\dot{q}-\lagrange\big(q,\dot{q}(q,p)\big)}
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\end{formula}
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\TODO{Legendre trafo}
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