\def\txL{\text{L}}
\def\gl{\text{GL}}
\def\GL{Ginzburg-Landau }
\def\Tcrit{T_\text{c}}
\def\Bcth{B_\text{c,th}}

\Section{super}
    \desc{Superconductivity}{
            Materials for which the electric resistance jumps to 0 under a critical temperature $\Tcrit$.
            Below $\Tcrit$ they have perfect conductivity and perfect diamagnetism, up until a critical magnetic field $\Bcth$.
        }{}
    \desc[german]{Supraleitung}{
            Materialien, bei denen der elektrische Widerstand beim unterschreiten einer kritischen Temperatur $\Tcrit$ auf 0 springt.
            Sie verhalten sich dann wie ideale Leiter und ideale Diamagnete, bis zu einem kritischen Feld $\Bcth$.
        }{}

    \begin{formula}{type1}
        \desc{Type-I superconductor}{}{}
        \desc[german]{Typ-I Supraleiter}{}{}
        \ttxt{\eng{
            Has a single critical magnetic field, $\Bcth$.
            \\$B < \Bcth$: \fRef{:::meissner_effect}
            \\$B > \Bcth$: Normal conductor
            \\ Very small usable current density because current only flows within the \fRef{cm:super:london:penetration_depth} of the surface.
        }}
    \end{formula}

    \begin{formula}{type2}
        \desc{Type-II superconductor}{}{}
        \desc[german]{Typ-II Supraleiter}{}{}
        \ttxt{\eng{
            Has a two critical magnetic fields.
            \\$B < B_\text{c1}$: \fRef{:::meissner_effect}
            \\$B_\text{c1} < B < B_\text{c2}$: \fRef{:::shubnikov_phase}
            \\$B > B_\text{c2}$: Normal conductor
            \\ In \fRef{:::shubnikov_phase} larger usable current density because current flows within the \fRef{cm:super:london:penetration_depth} of the surface and the penetrating flux lines.
        }}
    \end{formula}

    \begin{formula}{perfect_conductor}
        \desc{Perfect conductor}{}{}
        \desc[german]{Ideale Leiter}{}{}
        \ttxt{
            \eng{
                In contrast to a superconductor, perfect conductors become diamagnetic only when the external magnetic field is turned on \textbf{after} the material was cooled below the critical temperature.
                (\fRef{ed:em:induction:lenz})
            }
            \ger{
                Im Gegensatz zu einem Supraleiter werden ideale Leiter nur dann diamagnetisch, wenn das externe magnetische Feld \textbf{nach} dem Abkühlen unter die kritische Temperatur eingeschaltet wird.
                (\fRef{ed:em:induction:lenz})
            }
        }
    \end{formula}

    \begin{formula}{meissner_effect}
        \desc{Meißner-Ochsenfeld effect}{Perfect diamagnetism}{$\chi=-1$ \qtyRef{magnetic_susceptibility}}
        \desc[german]{Meißner-Ochsenfeld Effekt}{Perfekter Diamagnetismus}{}
        \ttxt{
            \eng{External magnetic field decays exponetially inside the superconductor below a critical temperature and a critical magnetic field, path-independant.} 
            \ger{Externes Magnetfeld fällt im Supraleiter exponentiell unterhalb einer kritischen Temperatur und unterhalb einer kritischen Feldstärke ab, wegunabhängig.} 
        }
    \end{formula}

    \begin{formula}{bcth}
        \desc{Thermodynamic cricitial field}{for \fRef[type I]{::type1} and \fRef[type II]{::type2}}{}
        \desc[german]{Thermodynamisches kritische Feldstärke}{für \fRef[type I]{::type1} und \Ref[type II]{::type2}}{}
        \eq{g_\txs - g_\txn = - \frac{\Bcth^2(T)}{2\mu_0}}
    \end{formula}
    
    \begin{formula}{shubnikov_phase}
        \desc{Shubnikov phase}{in \fRef{::type2}}{}
        \desc[german]{Shubnikov-Phase}{}{}
        \ttxt{\eng{
            Mixed phase in which some magnetic flux penetrates the superconductor.
        }\ger{
            Gemischte Phase in der der Supraleiter teilweise von magnetischem Fluss durchdrungen werden kann.
        }}
    \end{formula}

    \begin{formula}{condensation_energy}
        \desc{Condensation energy}{}{\QtyRef{free_enthalpy}, \ConstRef{magnetic_vacuum_permeability}}
        \desc[german]{Kondensationsenergie}{}{}
        \eq{
            \d G &= -S \d T + V \d p - V \vecM \cdot \d\vecB \\
            G_\text{con} &= G_\txn(B=0,T) - G_\txs(B=0,T) = \frac{V \Bcth^2(T)}{2\mu_0}
        }
    \end{formula}

    \Subsection{london}
        \desc{London Theory}{}{}
        \desc[german]{London-Theorie}{}{}
        \begin{formula}{description}
            \desc{Description}{}{}
            \desc[german]{Beschreibung}{}{}
            \ttxt{\eng{
                \begin{itemize}
                    \item Phenomenological theory
                    \item Quantitative description of the \fRef{cm:super:meissner_effect}. 
                    \item Assumies uniform charge density $n(\vecr,t) = n(t)$ (London-approximation).
                    \item Does not work near $T_\txc$
                \end{itemize}
            }\ger{
                \begin{itemize}
                    \item Phänomenologische Theorie
                    \item Quantitative Beschreibung des \fRef{cm:super:meissner_effect}s. 
                    \item Annahme: uniforme Ladungsdichte $n(\vecr,t) = n(t)$ (London-Näherung)
                    \item Funktioniert nicht nahe $T_\txc$
                \end{itemize}
            }}
        \end{formula}
        % \begin{formula}{coefficient}
        %     \desc{London-coefficient}{}{}
        %     \desc[german]{London-Koeffizient}{}{}
        %     \eq{\txLambda = \frac{m_\txs}{n_\txs q_\txs^2}}
        % \end{formula}
        \Eng[of_sc_particle]{of the superconducting particle}
        \Ger[of_sc_particle]{der Supraleitenden Teilchen}
        \begin{formula}{first}
            % \vec{j} = \frac{nq\hbar}{m}\Grad S - \frac{nq^2}{m}\vec{A}
            \desc{First London Equation}{}{$\vec{j}$ \qtyRef{current_density}, $m_\txs$/$n_\txs$/$q_\txs$ \qtyRef{mass}/\qtyRef{charge_carrier_density}/\qtyRef{charge} \GT{of_sc_particle}, \QtyRef{electric_field}}
            \desc[german]{Erste London-Gleichun-}{}{}
            \eq{
                \pdv{\vec{j}_{\txs}}{t} = \frac{n_\txs q_\txs^2}{m_\txs}\vec{\E} {\color{gray}- \Order{\vec{j}_\txs^2}}
            }
        \end{formula}
        \begin{formula}{second}
            \desc{Second London Equation}{Describes the \fRef{cm:super:meissner_effect}}{$\vec{j}$ \qtyRef{current_density}, $m_\txs$/$n_\txs$/$q_\txs$ \qtyRef{mass}/\qtyRef{charge_carrier_density}/\qtyRef{charge} \GT{of_sc_particle}, \QtyRef{magnetic_flux_density}}
            \desc[german]{Zweite London-Gleichung}{Beschreibt den \fRef{cm:super:meissner_effect}}{}
            \eq{
                \Rot \vec{j_\txs} = -\frac{n_\txs q_\txs^2}{m_\txs} \vec{B}
            }
        \end{formula}
        \begin{formula}{penetration_depth}
            \desc{London penetration depth}{Depth at which $B$ is $1/\e$ times the value of $B_\text{ext}$}{$m_\txs$/$n_\txs$/$q_\txs$ \qtyRef{mass}/\qtyRef{charge_carrier_density}/\qtyRef{charge} \GT{of_sc_particle}}
            \desc[german]{London Eindringtiefe}{Tiefe bei der $B$ das $1/\e$-fache von $B_\text{ext}$ ist}{}
            \eq{\lambda_\txL = \sqrt{\frac{m_\txs}{\mu_0 n_\txs q_\txs^2}}}
        \end{formula}
        \begin{formula}{penetration_depth_temp}
            \desc{Temperature dependence of \fRef{::penetration_depth}}{}{}
            \desc[german]{Temperaturabhängigkeit der \fRef{::penetration_depth}}{}{}
            \eq{\lambda_\txL(T) = \lambda_\txL(0) \frac{1}{\sqrt{1- \left(\frac{T}{T_\txc}\right)^4}}}
        \end{formula}

        \Subsubsection{macro}
            \desc{Macroscopic wavefunction}{}{}
            \desc[german]{Makroskopische Wellenfunktion}{}{}
            \begin{formula}{ansatz}
                \desc{Ansatz}{}{}
                \desc[german]{Ansatz}{}{}
                \ttxt{\eng{Alternative derivation of London equations by assuming a macroscopic wavefunction which is uniform in space}\ger{Alternative Herleitung der London-Gleichungen durch Annahme einer makroskopischen Wellenfunktion, welche nicht Ortsabhängig ist}}
                \eq{\Psi(\vecr,t) = \Psi_0(\vecr,t) \e^{\theta(\vecr,t)}}
            \end{formula}
            \begin{formula}{energy-phase_relation}
                \desc{Energy-phase relation}{}{$\theta$ \qtyRef{phase}, $m_\txs$/$n_\txs$/$q_\txs$ \qtyRef{mass}/\qtyRef{charge_carrier_density}/\qtyRef{charge} \GT{of_sc_particle}, \QtyRef{current_density}, $\phi_\text{el}$ \qtyRef{electric_scalar_potential}, \QtyRef{chemical_potential}}
                \desc[german]{Energie-Phase Beziehung}{}{}
                \eq{\hbar \pdv{\theta(\vecr,t)}{t} = - \left(\frac{m_\txs}{n_\txs^2 q_\txs^2} \vecj_\txs^2(\vecr,t) + q_\txs\phi_\text{el}(\vecr,t) + \mu(\vecr,t)\right)}
            \end{formula}
            \begin{formula}{current-phase_relation}
                \desc{Current-phase relation}{}{$\theta$ \qtyRef{phase}, $m_\txs$/$n_\txs$/$q_\txs$ \qtyRef{mass}/\qtyRef{charge_carrier_density}/\qtyRef{charge} \GT{of_sc_particle}, \QtyRef{current_density}, \QtyRef{magnetic_vector_potential}}
                \desc[german]{Strom-Phase Beziehung}{}{}
                \eq{\vecj_\txs(\vecr,t) = \frac{q_\txs^2 n_\txs(\vecr,t)}{m_\txs} \left(\frac{\hbar}{q_\txs} \Grad\theta(\vecr,t) - \vecA(\vecr,t)\right) }
            \end{formula}


        \Subsubsection{josephson}
            \desc{Josephson Effect}{}{}
            \desc[german]{Josephson Effekt}{}{}
            \begin{formula}{1st_relation}
                \desc{1. Josephson relation}{Dissipationless supercurrent accros junction at zero applied voltage}{$\vecj_\text{C}=\frac{2e}{\hbar}E_\text{J}$ critical current, $\phi$ phase difference accross junction}
                \desc[german]{1. Josephson Gleichung}{Dissipationsloser Suprastrom durch die Kreuzung ohne angelegte Spannung}{$\vecj_\text{C}=\frac{2e}{\hbar}E_\text{J}$ kritischer Strom, $\phi$ Phasendifferenz zwischen den Supraleitern}
                \eq{\vecj_\txs(\vecr,t) = \vecj_\text{C}(\vecr,t) \sin\phi(\vecr,t)}
            \end{formula}

            \begin{formula}{2nd_relation}
                \desc{2. Josephson relation}{Superconducting phase change is proportional to applied voltage}{$\phi$ phase differnce accross junction, \ConstRef{flux_quantum}, \QtyRef{voltage}}
                \desc[german]{2. Josephson Gleichung}{Supraleitende Phasendifferenz is proportional zur angelegten Spannung}{$\phi$ Phasendifferenz, \ConstRef{flux_quantum}, \QtyRef{voltage}}
                \eq{\odv{\phi(t)}{t} = \frac{2\pi}{\Phi_0} U(t)}
            \end{formula}

            \begin{formula}{coupling_energy}
                \desc{Josephson coupling energy}{}{$A$ junction \qtyRef{area}, \ConstRef{flux_quantum}, $\vecj_\txc$ \fRef[critical current density]{::1st_relation}, $\phi$ phase differnce accross junction}
                \desc[german]{Josephson}{}{$A$ junction \qtyRef{area}, \ConstRef{flux_quantum}, $\vecj_\txc$  \fRef[kritische Stromdichte]{::1st_relation}, $\phi$ Phasendifferenz zwischen den Supraleitern}
                \eq{\frac{E_\txJ}{A} = \frac{\Phi_0 \vecj_\txc}{2\pi}(1-\cos\phi)}
            \end{formula}
            



    \Subsection{gl}
        \desc{\GL Theory (GLAG)}{}{}
        \desc[german]{\GL Theorie (GLAG)}{}{}
        \begin{formula}{description}
            \desc{Description}{}{}
            \desc[german]{Beschreibung}{}{}
            \ttxt{\eng{
                \begin{itemize}
                    \item Phenomenological theory
                    \item  Improvement on the Landau-Theory of 2nd order phase transitions
                    % which introduces an order parameter that is $0$ in the normal state and rises to saturation in the superconducting state.
                    \item Additional complex, position-dependent order parameter is introduced $\Psi(\vecr)$
                    \item Only valid close to $T_\txc$.
                    \item Does not have time dependancy
                \end{itemize}
            }\ger{
                \begin{itemize}
                    \item Phänomenologische Theorie
                    \item Weiterentwicklung der Landau-Theorie für Phasenübergänge zweiter Ordnung, 
                    % in der ein Ordnungsparameter in the normalen Phase 0 ist und ein der supraleitenden Phase bis zur Sättigung ansteigt.
                    \item Zusätzlicher, komplexer, ortsabhängiger Ordnungsparameter $\Psi(\vecr)$
                    \item Nur nahe $T_\txc$ gültig.
                    \item Beschreibt keine Zeitabhängigkeit
                \end{itemize}
            }}
        \end{formula}

        \begin{formula}{expansion}
            \desc{Expansion}{Expansion of free enthalpy of superconducting state}{
                $g_{\txs/\txn}$ specific \qtyRef{free_enthalpy} of superconducting/normal state,
                $\Psi(\vecr) = \abs{\Psi_0(\vecr)} \e^{\I\theta(\vecr)}$ order parameter,
                $n(\vecr) = \abs{\Psi}^2$ Cooper-Pair density,
                \QtyRef{magnetic_flux_density},
                \QtyRef{magnetic_vector_potential},
                $\alpha(T) = -\bar{\alpha} \left(1-\frac{T}{T_\txc}\right)^2$,
                % $\alpha > 0$ for $T > T_\txc$ and $\alpha < 0$ for $T< T_\txc$,
                $\beta = \const > 0$
            }
            % \desc[german]{}{}{}
            \begin{multline}
                g_\txs = g_\txn + \alpha \abs{\Psi}^2 + \frac{1}{2}\beta \abs{\Psi}^4 +
                \\ \frac{1}{2\mu_0}(\vecB_\text{ext} -\vecB_\text{inside})^2 + \frac{1}{2m_\txs} \abs{ \left(-\I\hbar\Grad - q_\txs \vecA\right)\Psi}^2 + \dots
            \end{multline}
        \end{formula}

        \begin{formula}{first}
            \desc{First Ginzburg-Landau Equation}{Obtained by minimizing $g_\txs$ with respect to $\delta\Psi$ in \fRef{::expansion}}{
                $\xi_\gl$ \fRef{cm:super:gl:coherence_length}, 
                $\lambda_\gl$ \fRef{cm:super:gl:penetration_depth}
            }
            \desc[german]{Erste Ginzburg-Landau Gleichung}{}{}
            \eq{\alpha\Psi + \beta\abs{\Psi}^2 \Psi + \frac{1}{2m} (-i\hbar \Grad + 2e\vec{A})^2\Psi = 0}
        \end{formula}
        \begin{formula}{second}
            \desc{Second Ginzburg-Landau Equation}{Obtained by minimizing $g_\txs$ with respect to $\delta\vec{A}$ in \fRef{::expansion}}{}
            \desc[german]{Zweite Ginzburg-Landau Gleichung}{}{}
            \eq{\vec{j_\txs} = \frac{ie\hbar}{m}(\Psi^*\Grad\Psi - \Psi\Grad\Psi^*) - \frac{4e^2}{m}\abs{\Psi}^2 \vec{A}}
        \end{formula}
        

        \begin{formula}{coherence_length}
            \desc{\GL Coherence Length}{Depth in the superconductor where $\abs{\Psi}$ goes from 0 to 1}{}
            \desc[german]{\GL Kohärenzlänge}{Tiefe im Supraleiter, bei der $\abs{\Psi}$ von 0 auf 1 steigt}{}
            \eq{
                \xi_\gl &= \frac{\hbar}{\sqrt{2m \abs{\alpha}}} \\
                \xi_\gl(T) &= \xi_\gl(0) \frac{1}{\sqrt{1-\frac{T}{\Tcrit}}}
            }
        \end{formula}
        \begin{formula}{penetration_depth}
            \desc{\GL Penetration Depth}{Field screening length\\Depth in the supercondcutor where $B_\text{ext}$ decays}{}
            \desc[german]{\GL Eindringtiefe}{Tiefe im Supraleiter, bei der $B_\text{ext}$ abfällt}{}
            \eq{
                \lambda_\gl &= \sqrt{\frac{m_\txs\beta}{\mu_0 \abs{\alpha} q_s^2}} \\
                \lambda_\gl(T) &= \lambda_\gl(0) \frac{1}{\sqrt{1-\frac{T}{\Tcrit}}}
            }
        \end{formula}

        \begin{formula}{boundary_energy}
            \desc{Boundary energy}{Negative for \fRef{:::type2}, positive for \fRef{:::type1}}{$\Delta E_\text{B}$ energy gained by expelling the external magnetic field, $\Delta E_\text{cond}$ \fRef{:::condensation_energy}}
            \desc[german]{Grenzflächenenergie}{Negativ für \fRef{:::type2}, positiv für \fRef{:::type1}}{}
            \eq{\Delta E_\text{boundary} = \Delta E_\text{con} - \Delta E_\txB = (\xi_\gl - \lambda_\gl) \frac{B_\text{c,th}^2}{2\mu_0}}
        \end{formula}

        \begin{formula}{parameter}
            \desc{Ginzburg-Landau parameter}{}{}
            \desc[german]{Ginzburg-Landau Parameter}{}{}
            \eq{\kappa \equiv \frac{\lambda_\gl}{\xi_\gl}}
            \eq{
                \kappa \le \frac{1}{\sqrt{2}} &\quad\Rightarrow\quad\text{\fRef{cm:super:type1}} \\
                \kappa \ge \frac{1}{\sqrt{2}} &\quad\Rightarrow\quad\text{\fRef{cm:super:type2}}
            }
        \end{formula}

        \begin{formula}{ns_boundary}
            \desc{Normal-superconductor boundary}{}{}
            \desc[german]{Normal-Supraleiter Grenzfläche}{}{}
            \eq{
                \abs{\Psi(x)}^2 &= \frac{n_\txs(x)}{n_\txs(\infty)} = \tanh^2 \left(\frac{x}{\sqrt{2}\xi_\gl}\right) \\
                B_z(x) &= B_z(0) \Exp{-\frac{x}{\lambda_\gl}}
            }
            \fig{img/cm_super_n_s_boundary.pdf}
            % \TODO{plot, slide 106}
        \end{formula}

        \begin{formula}{bcth}
            \desc{Thermodynamic critical field}{}{}
            \desc[german]{Thermodynamisches kritisches Feld}{}{}
            \eq{\Bcth = \frac{\Phi_0}{2\pi \sqrt{2} \xi_\gl \lambda_\gl}}
        \end{formula}

        \begin{formula}{bc1}
            \desc{Lower critical magnetic field}{Above $B_\text{c1}$, flux starts to penetrate the superconducting phase}{\ConstRef{flux_quantum}, $\lambda_\gl$ \fRef{::penetration_depth} $\kappa$ \fRef{::parameter}}
            \desc[german]{Unteres kritisches Magnetfeld}{Über $B_\text{c1}$ dringt erstmals Fluss in die supraleitende Phase ein}{}
            \eq{B_\text{c1} = \frac{\Phi_0}{4\pi\lambda_\gl^2}(\ln\kappa+0.08) = \frac{1}{\sqrt{2}\kappa}(\ln\kappa + 0.08) \Bcth}
        \end{formula}

        \begin{formula}{bc2}
            \desc{Upper critical magnetic field}{Above $B_\text{c2}$, superconducting phase is is destroyed}{\ConstRef{flux_quantum}, $\xi_\gl$ \fRef{::coherence_length}}
            \desc[german]{Oberes kritisches Magnetfeld}{Über $B_\text{c2}$ ist die supraleitende Phase zerstört}{}
            \eq{B_\text{c2} = \frac{\Phi_0}{2\pi\xi_\gl^2}}
        \end{formula}

        \begin{formula}{proximity_effect}
            \desc{Proximity-Effect}{}{}
            % \desc[german]{}{}{}
            \ttxt{\eng{
                Superconductor wavefunction extends into the normal conductor or isolator
            }}
        \end{formula}

    \Subsection{micro}
        \desc{Microscopic theory}{}{}
        \desc[german]{Mikroskopische Theorie}{}{}
        \begin{formula}{isotop_effect}
            \desc{Isotope effect}{Superconducting behaviour depends on atomic mass and thereby on the lattice \Rightarrow Microscopic origin}{$\Tcrit$ critial temperature, $M$ isotope mass, $\omega_\text{ph}$}
            \desc[german]{Isotopeneffekt}{Supraleitung hängt von der Atommasse und daher von den Gittereigenschaften ab \Rightarrow Mikroskopischer Ursprung}{$\Tcrit$ kritische Temperatur, $M$ Isotopen-Masse, $\omega_\text{ph}$}
            \eq{
                \Tcrit &\propto \frac{1}{\sqrt{M}} \\
                \omega_\text{ph} &\propto \frac{1}{\sqrt{M}} \Rightarrow \Tcrit \propto \omega_\text{ph}
            }
        \end{formula}

        \begin{formula}{cooper_pairs}
            \desc{Cooper pairs}{}{}
            \desc[german]{Cooper-Paars}{}{}
            \ttxt{
                \eng{Conduction electrons reduce their energy through an attractive interaction: One electron passing by atoms attracts the these, which creats a positive charge region behind the electron, which in turn attracts another electron. }
            }
        \end{formula}
    
        \Subsubsection{bcs}
            \desc{BCS-Theory}{}{}
            \desc[german]{BCS-Theorie}{}{}
            \begin{formula}{description}
                \desc{Description}{}{}
                \desc[german]{Beschreibung}{}{}
                \ttxt{\eng{
                    \begin{itemize}
                        \item Electron pairs form bosonic quasi-particles called Cooper pairs which can condensate into the ground state
                        \item The wave function spans the whole material, which makes it conduct without resistance
                        \item The exchange bosons between the electrons are phonons
                    \end{itemize}
                }\ger{
                    \begin{itemize}
                        \item Elektronenpaar bilden bosonische Quasipartikel (Cooper Paare) welche in den Grundzustand kondensieren können.
                        \item Die Wellenfunktion übersoannt den gesamten Festkörper, was einen widerstandslosen Ladungstransport garantiert
                        \item Die Austauschbosononen zwischen den Elektronen sind Bosonen
                    \end{itemize}
                }}
            \end{formula}

            \def\BCS{{\text{BCS}}}
            \begin{formula}{hamiltonian}
                \desc{BCS Hamiltonian}{for $N$ interacting electrons}{
                    $c_{\veck\sigma}$ creation/annihilation operators create/destroy at $\veck$ with spin $\sigma$ \\
                    First term: non-interacting free electron gas\\
                    Second term: interaction energy
                }
                \desc[german]{BCS Hamiltonian}{}{}
                \eq{
                    \hat{H}_\BCS = 
                    \sum_{\sigma} \sum_\veck \epsilon_\veck \hat{c}_{\veck\sigma}^\dagger \hat{c}_{\veck\sigma}
                    + \sum_{\veck,\veck^\prime} V_{\veck,\veck^\prime} 
                        \hat{c}_{\veck\uparrow}^\dagger \hat{c}_{-\veck\downarrow}^\dagger
                        \hat{c}_{-\veck^\prime\downarrow} \hat{c}_{\veck^\prime,\uparrow}
                }
            \end{formula}

            \begin{formula}{ansatz}
                \desc{BCS ground state wave function Ansatz}{\fRef{comp:est:mean_field} approach\\Coherent fermionic state}{}
                \desc[german]{BCS Grundzustandswellenfunktion-Ansatz}{\fRef{comp:est:mean_field} Ansatz\\Kohärenter, fermionischer Zustand}{}
                \eq{\Ket{\Psi_\BCS} = \prod_{\veck=\veck_1,\dots,\veck_M} \left(u_\veck + v_\veck \hat{c}_{\veck\uparrow}^\dagger \hat{c}_{-\veck\downarrow}^\dagger\right) \ket{0} }
            \end{formula}

            \begin{formula}{coherence_factors}
                \desc{BCS coherence factors}{}{$\abs{u_\veck}^2$/$\abs{v_\veck}^2$ probability that pair state is $(\veck\uparrow,\,-\veck\downarrow)$ is empty/occupied, $\abs{u_\veck}^2+\abs{v_\veck}^2 = 1$}
                \desc[german]{BCS Kohärenzfaktoren}{}{$\abs{u_\veck}^2$/$\abs{v_\veck}^2$ Wahrscheinlichkeit, dass Paarzustand $(\veck\uparrow,\,-\veck\downarrow)$ leer/besetzt ist, $\abs{u_\veck}^2+\abs{v_\veck}^2 = 1$}
                \eq{
                    u_\veck &= \frac{1}{\sqrt{1+\abs{\alpha_\veck}^2}} \\
                    v_\veck &= \frac{\alpha_\veck}{\sqrt{1+\abs{\alpha_\veck}^2}}
                }
            \end{formula}

            \begin{formula}{potential}
                \desc{BCS potential approximation}{}{}
                \desc[german]{BCS Potentialnäherung}{}{}
                \eq{
                    V_{\veck,\veck^\prime} = 
                    \left\{ \begin{array}{rc} 
                        -V_0 & k^\prime > k_\txF,\, k<k_\txF + \Delta k\\ 
                        0 & \tGT{else} 
                    \end{array}\right.  
                }
            \end{formula}

            \begin{formula}{gap_at_t0}
                \desc{BCS Gap at $T=0$}{}{\QtyRef{debye_frequency}, $V_0$ \fRef{::potential}, $D$ \qtyRef{dos}, $\gamma$ Sommerfeld constant}
                \desc[german]{BCS Lücke bei $T=0$}{}{}
                \eq{
                    \Delta(T=0) &= \frac{\hbar\omega_\txD}{\Sinh{\frac{2}{V_0\.D(E_\txF)}}} \approx 2\hbar \omega_\txD\\
                    \frac{\Delta(T=0)}{\kB T_\txc} &= \frac{\pi}{\e^\gamma} = 1.764 
                }
            \end{formula}


            \begin{formula}{cooper_pair_binding_energy}
                \desc{Binding energy of Cooper pairs}{}{$E_\txF$ \absRef{fermi_energy}, \QtyRef{debye_frequency}, $V_0$ retarded potential, $D$ \qtyRef{dos}}
                \desc[german]{Bindungsenergie von Cooper-Paaren}{}{}
                \eq{E \approx 2E_\txF - 2\hbar\omega_\txD \Exp{-\frac{4}{V_0 D(E_\txF)}}}
            \end{formula}

            \Subsubsection{excite}
                \desc{Excitations and finite temperatures}{}{}
                \desc[german]{Anregungen und endliche Temperatur}{}{}
                \begin{formula}{description}
                    \desc{Description}{}{}
                    \desc[german]{Beschreibung}{}{}
                    \ttxt{\eng{
                        The ground state consists of \fRef{cm:super:micro:cooper_pairs} and the excited state of Bogoliubov quasi-particles (electron-hole pairs).
                        The states are separated by an energy gap $\Delta$.
                    }\ger{
                        Den Grundzustand bilden \fRef{cm:super:micro:cooper_pairs} und den angeregten Zustands Bogoloiubons (Elektron-Loch Quasipartikel).
                        Die Zustände sind durch eine Energielücke $\Delta$ getrennt.
                    }}
                \end{formula}
                \begin{formula}{bogoliubov-valatin}
                    \desc{Bogoliubov-Valatin transformation}{Diagonalization of the \fRef{cm:super:micro:bcs:hamiltonian} to derive excitation energies}{
                        $\xi_\veck = \epsilon_\veck-\mu$ Energy relative to the \qtyRef{chemical_potential},
                        \\ $E_\veck$ \fRef{::excitation_energy},
                        \\ $\Delta$ Gap
                        \\ $g_\veck$ \fRef{::pairing_amplitude},
                        \\ $\alpha / \beta$ create and destroy symmetric/antisymmetric Bogoliubov quasiparticles
                    }
                    \desc[german]{Bogoliubov-Valatin transformation}{}{}
                    \eq{
                        \hat{H}_\BCS  - N\mu = \sum_\veck \big[\xi_\veck - E_\veck + \Delta_\veck g_\veck^*\big] + \sum_\veck \big[E_\veck \alpha_\veck^\dagger \alpha_\veck + E_\veck \beta_{-\veck}^\dagger \beta_{-\veck}\big]
                    }
                \end{formula}

                \begin{formula}{pairing_amplitude}
                    \desc{Pairing amplitude}{}{}
                    \desc[german]{Paarungsamplitude}{}{}
                    \eq{g_\veck \equiv \Braket{\hat{c}_{-\veck\downarrow} \hat{c}_{\veck\uparrow}}}
                \end{formula}

                \begin{formula}{excitation_energy}
                    \desc{Excitation energy}{}{}
                    \desc[german]{Anregungsenergie}{}{}
                    \eq{E_\veck = \pm \sqrt{\xi^2_\veck + \abs{\Delta_\veck}^2}}
                \end{formula}

                \begin{formula}{coherence_factors_energy}
                    \desc{Energy dependance of the \fRef{:::bcs:coherence_factors}}{}{$E_\veck$ \fRef{::pairing_amplitude}, \GT{see} \fRef{:::bcs:coherence_factors}}
                    \desc[german]{Energieabhängigkeit der \fRef{:::bcs:coherence_factors}}{}{}
                    \eq{
                        \abs{u_\veck}^2 &= \frac{1}{2} \left(1+\frac{\xi_\veck}{E_\veck}\right) \\
                        \abs{v_\veck}^2 &= \frac{1}{2} \left(1-\frac{\xi_\veck}{E_\veck}\right) \\
                        u_\veck^* v_\veck &= \frac{\Delta_\veck}{2E_\veck}
                    }
                \end{formula}   


                \begin{formula}{gap_equation}
                    \desc{Self-consistend gap equation}{}{}
                    \desc[german]{Selbstkonsitente Energielückengleichung}{}{}
                    \eq{\Delta_\veck^* = -\sum_{\veck^\prime} V_{\veck,\veck^\prime} \frac{\Delta_{\veck^\prime}}{2E_\veck} \tanh \left(\frac{E_{\veck^\prime}}{2\kB T}\right)}
                \end{formula}


                \begin{formula}{gap_t}
                    \desc{Temperature dependence of the BCS gap}{}{}
                    \desc[german]{Temperaturabhängigkeit der BCS-Lücke}{}{}
                    \eq{\frac{\Delta(T)}{\Delta(T=0)} \approx 1.74 \sqrt{1-\frac{T}{T_\txC}}}
                \end{formula}

                \begin{formula}{dos}
                    \desc{Quasiparticle density of states}{}{}
                    \desc[german]{Quasiteilchen Zustandsdichte}{}{}
                    \eq{D_\txs(E_\veck) = D_\txn(\xi_\veck) \pdv{\xi_\veck}{E_\veck} = \left\{ 
                            \begin{array}{ll} 
                                D_\txn(E_\txF) \frac{E_\veck}{\sqrt{E^2_\veck -\Delta^2}} & E_\veck > \Delta \\
                                                                                          & E_\veck < \Delta
                            \end{array}
                        \right.}
                \end{formula}

                \begin{formula}{Bcth_temp}
                    \desc{Temperature dependance of the crictial magnetic field}{Jump at $T_\txc$, then exponential decay}{}
                    \desc[german]{Temperaturabhängigkeit des kritischen Magnetfelds}{Sprung bei $T_\txc$, denn exponentieller Abfall}{}
                    \eq{ \Bcth(T) = \Bcth(0) \left[1- \left(\frac{T}{T_\txc}\right)^2 \right] }
                    % \TODO{empirical relation, relate to BCS}
                \end{formula}

                \begin{formula}{heat_capacity}
                    \desc{Heat capacity in superconductors}{}{}
                    \desc[german]{Wärmekapazität in Supraleitern}{}{}
                    \fsplit{
                        \fig{img/cm_super_heat_capacity.pdf}
                    }{
                        \eq{c_\txs \propto T^{-\frac{3}{2}} \e^{\frac{\Delta(0)}{\kB T}}}
                    }
                \end{formula}

            \Subsubsection{pinning}
                \desc{Flux pinning}{}{}
                \desc[german]{Haftung von Flusslinien}{}{}
                \begin{formula}{description}
                    \desc{Description}{}{}
                    \desc[german]{Beschreibung}{}{}
                    \ttxt{\eng{
                            If a current flows in a \fRef{cm:super:type2}s in the \fRef{cm:super:shubnikov_phase} perpendicular to the penetrating flux lines,
                            the lines experience a Lorentz force. This leads to ohmic behaviour of the superconductor.
                            The flux lines can be pinned to defects, in which the superconducting order parameter is reduced.
                            To move the flux line out of the defect, work would have to be spent overcoming the \fRef{cm:super:micro:pinning:potential}.
                            This restores the superconductivity.
                    }\ger{
                        Wenn ein Strom in einem \fRef{cm:super:type2}s in der \fRef{cm:super:shubnikov_phase} senkrecht zu den eindringenden Flusslinien fließt, erfahren die Linien eine Lorentzkraft.
                        Dies führt zu einem ohmschen Verhalten des Supraleiters.
                        Die Flusslinien können an Defekten festgehalten werden, in denen der supraleitende Ordnungsparameter reduziert ist.
                        Um die Flusslinie aus dem Defekt zu bewegen, müsste Arbeit aufgewendet werden, um das \fRef{cm:super:micro:pinning:potential} zu überwinden.
                        Dies stellt die Supraleitfähigkeit wieder her.
                    }}
                \end{formula}
