\Part{Topo}
\Section[
    \eng{Berry phase / Geometric phase}
    \ger{Berry-Phase / Geometrische Phase}
     ]{berry_phase}

    \begin{ttext}[desc]
        \eng{
            While adiabatically traversing a closed through the parameter space $R(t)$, the wave function of a systems
            may pick up an additional phase $\gamma$.\\
            If $\vec{R}(t)$ varies adiabatically (slowly) and the system is initially in eigenstate $\ket{n}$, 
            it will stay in an Eigenstate throughout the process (quantum adiabtic theorem).
        }
        \ger{
            Beim adiabatischem Durchlauf eines geschlossenen Weges durch den Parameterraum $R(t)$ kann die Wellenfunktion eines Systems
            eine zusätzliche Phase $\gamma$ erhalten.\\
            Wenn $\vec{R}(t)$ adiabatisch (langsam) variiert und das System anfangs im Eigenzustand $\ket{n}$ ist, 
            bleibt das System während dem Prozess in einem Eigenzustand (Adiabatisches Theorem der Quantenmechanik).
        }
    \end{ttext}
    \Eng[dynamic_phase]{Dynamical Phase}
    \Eng[berry_phase]{Berry Phase}
    \Ger[dynamic_phase]{Dynamische Phase}
    \Ger[berry_phase]{Berry Phase}
    \begin{formula}{schroedinger_equation}
        \desc{Schrödinger equation}{}{}
        \desc[german]{Schrödinger Gleichung}{}{}
    \eq{H(\vec{R}(t)) \ket{n(\vec{R}(t))} = \epsilon(\vec{R}(t)) \ket{n(\vec{R}(t))}}
    \end{formula}
    \begin{formula}{wavefunction}
        \desc{Wave function}{After full adiabtic loop in $\vec{R}$}{}
        \desc[german]{Wellenfunktion}{Nach vollem adiabtischem Umlauf in $\vec{R}$}{}
        \eq{\ket{\psi_n(t)} = \underbrace{\e^{i\gamma_n(t)}}_\text{\GT{berry_phase}} 
            \underbrace{\e^{\frac{-i}{\hbar} \int^r \epsilon_n(\vec{R}(t`))\d t}}_\text{\GT{dynamic_phase}} \ket{n(\vec{R}(t))}
        }
    \end{formula}

    \begin{formula}{berry_connection}
        \desc{Berry connection}{}{}
        \desc[german]{Berry connection}{}{}
        \eq{A_n(\vec{R}) = i\braket{\psi | \nabla_R | \psi}}
    \end{formula}

    \begin{formula}{berry_curve}
        \desc{Berry curvature}{Gauge invariant}{}
        \desc[german]{Berry-Krümmung}{Eichinvariant}{}
        \eq{\vec{\Omega}_n = \Grad_R \times A_n(\vec{R})}
    \end{formula}

    \begin{formula}{berry_phase}
        \desc{Berry phase}{Gauge invariant up to $2\pi$}{}
        \desc[german]{Berry-Phase}{Eichinvariant bis auf $2\pi$}{}
        \eq{\gamma_n = \oint_C \d \vec{R} \cdot A_n(\vec{R}) = \int_S \d\vec{S} \cdot \vec{\Omega}_n(\vec{R})}
    \end{formula}

    \begin{ttext}[chern_number_desc]
        \eng{The Berry flux through any 2D closed surface is quantized by the \textbf{Chern number}.
            If there is time-reversal symmetry, the Chern-number is 0.
        }
        \ger{Der Berry-Fluß durch eine geschlossene 2D Fl[cher is quantisiert durch die \textbf{Chernzahl}
            Bei erhaltener Zeitumkehrungssymmetrie ist die Chernzahl 0.
        }
    \end{ttext}
    \begin{formula}{chern_number}
        \desc{Chern number}{Eg. number of Berry curvature monopoles in the Brillouin zone (then $\vec{R} = \vec{k}$)}{$\vec{S}$ closed surface in $\vec{R}$-space. A \textit{Chern insulator} is a 2D insulator with $C_n \neq 0$}
        \desc[german]{Chernuzahl}{Z.B. Anzahl der Berry-Krümmungs-Monopole in der Brilouinzone (dann ist $\vec{R} = \vec{k}$). Ein \textit{Chern-Isolator} ist ein 2D Isolator mit $C_n\neq0$}{$\vec{S}$ geschlossene Fläche im $\vec{R}$-Raum}
        \eq{C_n = \frac{1}{2\pi} \oint \d \vec{S}\ \cdot \vec{\Omega}_n(\vec{R})}
    \end{formula}

    \TODO{Hall conductance of 2D band insulator (lecture 4 revision)}
    \begin{formula}{hall_conductance}
        \desc{Hall conductance of a 2D band insulator}{}{}
        \desc[german]{Hall-Leitfähigkeit eines 2D Band-Isolators}{}{}
        \eq{\vec{\sigma}_{xy} = \sum_n \frac{e^2}{h} \int_\text{\GT{occupied}} \d^2k\, \frac{\Omega_{xy}^n}{2\pi} = \sum_n C_n \frac{e^2}{h}}
    \end{formula}

    \begin{ttext}
        \eng{A 2D insulator with a non-zero }
        
    \end{ttext}