\Section{charge_transport}
    \desc{Charge transport}{}{}
    \desc[german]{Ladungstransport}{}{}

\Subsection{drude}
    \desc{Drude model}{
            Classical model describing the transport properties of electrons in materials (metals):
            The material is assumed to be an ion lattice and with freely moving electrons (electron gas). The electrons are 
            accelerated by an electric field and decelerated through collisions with the lattice ions.
            The model disregards the Fermi-Dirac partition of the conducting electrons.
    }{}
    \desc[german]{Drude-Modell}{
            Ein klassisches Model zur Beschreibung der Transporteigenschaften von Elektronen in (v.a.) Metallen:
            Der Festkörper wird als Ionenkristall mit frei beweglichen Elektronen (Elektronengas). 
            Die Elektronen werden durch ein Elektrisches Feld $E$ beschleunigt und durch Stöße mit den Gitterionen gebremst.
            Das Modell vernachlässigt die Fermi-Dirac Verteilung der Leitungselektronen.
    }{}
    \begin{formula}{eom}
        \desc{Equation of motion}{}{$v$ electron speed, $\vec{v}_\text{D}$ drift velocity, \QtyRef{scattering_time}}
        \desc[german]{Bewegungsgleichung}{}{$v$ Elektronengeschwindigkeit, $\vec{v}_\text{D}$ Driftgeschwindigkeit, \QtyRef{scattering_time}}
        \eq{\masse \odv{\vec{v}}{t} + \frac{\masse}{\tau} \vec{v}_\text{D} = -e \vec{\E}}
    \end{formula}
    \begin{formula}{current_density}
        \desc{(Drift) Current density}{Ohm's law}{\QtyRef{charge_carrier_density}, \ConstRef{charge}, \QtyRef{drift_velocity}, \QtyRef{mobility}, \QtyRef{electric_field}}
        \desc[german]{(Drift-) Stromdichte}{Ohmsches Gesetz}{}
        \quantity{\vec{j}}{\ampere\per\m^2}{v}
        \eq{\vec{j} = -ne\vec{v}_\text{D} = ne\mu \vec{\E}}
    \end{formula}

    \begin{formula}{conductivity}
        \desc{Electrical conductivity}{Both from Drude model and Sommerfeld model}{\QtyRef{current_density}, \QtyRef{electric_field}, \QtyRef{charge_carrier_density}, \ConstRef{charge}, \QtyRef{scattering_time}, \ConstRef{electron_mass}, \QtyRef{mobility}}
        \desc[german]{Elektrische Leitfähigkeit}{Aus dem Drude-Modell und dem Sommerfeld-Modell}{}
        \quantity{\sigma}{\siemens\per\m=\per\ohm\m=\ampere^2\s^3\per\kg\m^3}{t}
        \eq{\sigma = \frac{\vec{j}}{\vec{\E}} = \frac{n e^2 \tau}{\masse} = n e \mu}
    \end{formula}

    \begin{formula}{drift_velocity}
        \desc{Drift velocity}{Velocity component induced by an external force (eg. electric field)}{$v_\text{th}$ thermal velocity}
        \desc[german]{Driftgeschwindgkeit}{Geschwindigkeitskomponente durch eine externe Kraft (z.B. ein elektrisches Feld)}{$v_\text{th}$ thermische Geschwindigkeit}
        \hiddenQuantity{\vecv_\txD}{\m\per\s}{v}
        \eq{\vec{v}_\text{D} = \vec{v} - \vec{v}_\text{th}}
    \end{formula}

    \begin{formula}{mean_free_path}
        \abbrLabel{mfp}
        \desc{Mean free path}{}{}
        \desc[german]{Mittlere freie Weglänge}{}{}
        \eq{\ell = \braket{v} \tau}
    \end{formula}

    \begin{formula}{mobility}
        \desc{Electrical mobility}{How quickly a particle moves through a material when moved by an electric field}{$q$ \qtyRef{charge}, $m$ \qtyRef{mass}, $\tau$ \qtyRef{scattering_time}}
        \desc[german]{Elektrische Mobilität / Beweglichkeit}{Leichtigkeit mit der sich durch ein Elektrisches Feld beeinflusstes Teilchen im Material bewegt}{}
        \quantity{\mu}{\centi\m^2\per\volt\s}{s}
        \eq{\mu = \frac{q \tau}{m}}
    \end{formula}

\Subsection{sommerfeld}
    \desc{Sommerfeld model}{Assumes a gas of free fermions underlying the pauli-exclusion principle. Only electrons in an energy range of $\kB T$ around the Fermi energy $\EFermi$ participate in scattering processes. The \qtyRef{conductivity} is the same as in \fRef{::drude}}{}
    \desc[german]{Sommerfeld-Modell}{Annahme eines freien Fermionengases, welches dem Pauli-Prinzip unterliegt. Nur Elektronen in einem Energiebereich von $\kB T$ um die Fermi Energe $\EFermi$ nehmen an Streuprozessen teil. Die \qtyRef{conductivity} ist die selbe wie im \fRef{::drude}}{}
    \begin{formula}{current_density}
        \desc{Electrical current density}{}{}
        \desc[german]{Elektrische Stromdichte}{}{}
        \eq{\vec{j} = -en\braket{v} = -e n \frac{\hbar}{\masse}\braket{\vec{k}} = -e \frac{1}{V} \sum_{\vec{k},\sigma} \frac{\hbar \vec{k}}{\masse}}
    \end{formula}

\Subsection{boltzmann}
    \desc{Boltzmann-transport}{Semiclassical description using a probability distribution (\fRef{cm:sc:fermi_dirac}) to describe the particles.}{}
    \desc[german]{Boltzmann-Transport}{Semiklassische Beschreibung, benutzt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung (\fRef{cm:sc:fermi_dirac}).}{}
    \begin{formula}{boltzmann_transport}
        \desc{Boltzmann Transport equation}{for charge transport}{$f$ \fRef{cm:sc:fermi_dirac}}
        \desc[german]{Boltzmann-Transportgleichung}{für Ladungstransport}{}
        \eq{
            \pdv{f(\vec{r},\vec{k},t)}{t} = -\vec{v} \cdot \Grad_{\vec{r}} f - \frac{e}{\hbar}(\vec{\mathcal{E}} + \vec{v} \times \vec{B}) \cdot \Grad_{\vec{k}} f + \left(\pdv{f(\vec{r},\vec{k},t)}{t}\right)_{\text{\GT{scatter}}}
        }
    \end{formula}

\Subsection{mag}
    \desc{Magneto-transport}{}{}
    \desc[german]{Magnetotransport}{}{}
    \begin{formula}{cyclotron_frequency}
        \desc{Cyclotron frequency}{Moving charge carriers move in cyclic orbits under applied magnetic field}{$q$ \qtyRef{charge}, \QtyRef{magnetic_flux_density}, m \qtyRef[effective]{mass}}
        \desc[german]{Zyklotronfrequenz}{Ladungstraäger bewegen sich in einem Magnetfeld auf einer Kreisbahn}{}
        \eq{w_\txc = \frac{qB}{m}}
    \end{formula}

    \TODO{TODO}
    % \begin{formula}{cyclotron_resonance}
    %     \desc{}{}{}
    %     \desc[german]{}{}{}
    %     \eq{}
    % \end{formula}

    \Subsubsection{hall}
        \desc{Hall-Effect}{}{}
        \desc[german]{Hall-Effekt}{}{}


        \Paragraph{classic}
            \desc{Classical Hall-Effect}{Current flowing in $x$ direction in a conductor ($l \times b \times d$) with a magnetic field $B$ in $z$ direction leads to a hall voltage $U_\text{H}$ in $y$ direction.}{}
            \desc[german]{Klassischer Hall-Effekt}{Fließt in einem Leiter ($l \times b \times d$) ein Strom in $x$ Richtung, während der Leiter von einem Magnetfeld $B$ in $z$-Richtung durchdrungen, wird eine Hallspannung $U_\text{H}$ in $y$-Richtung induziert.}{}
            \begin{formula}{voltage}
                \desc{Hall voltage}{}{$n$ charge carrier density}
                \desc[german]{Hallspannung}{}{$n$ Ladungsträgerdichte}
                \eq{U_\text{H} = \frac{I B}{ne d}}
            \end{formula}

            \begin{formula}{coefficient}
                \desc{Hall coefficient}{Sometimes $R_\txH$}{}
                \desc[german]{Hall-Koeffizient}{Manchmal $R_\txH$}{}
                \eq{A_\text{H} := -\frac{E_y}{j_x B_z} \explOverEq{\GT{metals}} \frac{1}{ne} = \frac{\rho_{xy}}{B_z}}
            \end{formula}

            \begin{formula}{resistivity}
                \desc{Resistivity}{}{\QtyRef{momentum_relaxation_time}, \QtyRef{magnetic_flux_density}, $n$ \qtyRef{charge_carrier_density}, \ConstRef{charge}}
                \desc[german]{Spezifischer Widerstand}{}{}
                \eq{\rho_{xx} &= \frac{\masse}{ne^2\tau} \\ \rho_{xy} &= \frac{B}{ne}}
            \end{formula}


        \Paragraph{quantum}
            \desc{Quantum hall effects}{}{}
            \desc[german]{Quantenhalleffekte}{}{}  
            \begin{formula}{types}
                \desc{Types of quantum hall effects}{}{}
                \desc[german]{Arten von Quantenhalleffekten}{}{}
                \ttxt{\eng{
                    \begin{itemize}
                        \item \textbf{Integer} (QHE): filling factor $\nu$ is an integer
                        \item \textbf{Fractional} (FQHE): filling factor $\nu$ is a fraction
                        \item \textbf{Spin} (QSHE): spin currents instead of charge currents
                        \item \textbf{Anomalous} (QAHE): symmetry breaking by internal effects instead of external magnetic fields
                    \end{itemize}
                }\ger{
                    \begin{itemize}
                        \item \textbf{Integer} (QHE): Füllfaktor $\nu$ ist ganzzahlig
                        \item \textbf{Fractional} (FQHE): Füllfaktor $\nu$ ist ein Bruch
                        \item \textbf{Spin} (QSHE): Spin Ströme anstatt Ladungsströme
                        \item \textbf{Anomalous} (QAHE): Symmetriebruch durch interne Effekte anstatt druch ein externes Magnetfeld
                    \end{itemize}
                }}
            \end{formula}
        


            \begin{formula}{conductivity}
                \desc{Conductivity tensor}{}{}
                \desc[german]{Leitfähigkeitstensor}{}{}
                \eq{\sigma = \begin{pmatrix} \sigma_{xy} & \sigma_{xy} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} \end{pmatrix} }
            \end{formula}

            \begin{formula}{resistivity_tensor}
                \desc{Resistivity tensor}{}{}
                \desc[german]{Spezifischer Widerstands-tensor}{}{}
                \eq{
                    \rho = \sigma^{-1}
                    % \sigma = \begin{pmatrix} \sigma_{xy} & \sigma_{xy} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} \end{pmatrix} }
                }
            \end{formula}

            \begin{formula}{resistivity}
                \desc{Resistivity}{}{$\nu \in \mathbb{Z}$ filing factor}
                \desc[german]{Spezifischer Hallwiderstand}{}{$\nu \in \mathbb{Z}$ Füllfaktor}
                \eq{\rho_{xy} = \frac{2\pi\hbar}{e^2} \frac{1}{\nu}}
            \end{formula}

            % \begin{formula}{qhe}
            %     \desc{Integer quantum hall effect}{}{}
            %     \desc[german]{Ganzahliger Quanten-Hall-Effekt}{}{}
            %     \fig{img/qhe-klitzing.jpeg}
            % \end{formula}

            \begin{formula}{fqhe}
                \desc{Fractional quantum hall effect}{}{$\nu$ fraction of two numbers without shared divisors}
                \desc[german]{Fraktionaler Quantum-Hall-Effekt}{}{$\nu$ Bruch aus Zahlen ohne gemeinsamen Teiler}
                \eq{\nu = \frac{1}{3},\frac{2}{5},\frac{3}{7},\frac{2}{3}...}
            \end{formula}
    
\Subsection{scatter}
\desc{Scattering processes}{Limits the \qtyRef{drift_velocity}}{}
\desc[german]{Streuprozesse}{Begrenzt die \qtyRef{drift_velocity}}{}
    \Eng[elastic]{elastic}
    \Ger[elastic]{elastisch}
    \Eng[inelastic]{inelastic}
    \Ger[inelastic]{inelastisch}
    \begin{formula}{types}
        \desc{Types}{}{}
        \desc[german]{Arten}{}{}
        \ttxt{\eng{
            \textbf{Elastic}: constant $\abs{\veck}$ and $E$, direction of $\veck$ changes
            \\ \textbf{Inelastic}: $\abs{\veck}$, $E$ and direction of $\veck$ change
        }\ger{
            \textbf{Elastisch}: $\abs{\veck}$ und $E$ konstant, Richtung von $\veck$ ändert sich
            \\ \textbf{Inelastisch}: $\abs{\veck}$, $E$ und Richtung von $\veck$ ändern sich
        }}
    \end{formula}

    \begin{formula}{scattering_time}
        \desc{Momentum relaxation time}{Scattering time}{}
        \desc[german]{}{Streuzeit}{}
        \quantity{\tau}{\s}{s}
        \hiddenQuantity[momentum_relaxation_time]{\tau}{\s}{s}
        \ttxt{
            \eng{The average time between scattering events weighted by the characteristic momentum change cause by the scattering process (If the momentum and momentum direction do not change, the scattering event is irrelevant for the resistance).}
            \ger{Die durschnittliche Zeit zwischen Streuprozessen, gewichtet durch die verursachte Impulsänderung (Wenn sich der Impuls und die Richtung nicht ändern ist das Streuevent irrelevant für den Widerstand)}
        }
    \end{formula}

    \begin{formula}{matthiessen}
        \desc{Matthiessen's rule}{Approximation, only holds if the processes are independent of each other}{\QtyRef{mobility}, \QtyRef{scattering_time}}
        \desc[german]{Matthiessensche Regel}{Näherung, nur gültig wenn die einzelnen Streuprozesse von einander unabhängig sind}{}
        \eq{
            \frac{1}{\mu} &= \sum_{i = \textrm{\GT{:::scatter}}} \frac{1}{\mu_i} \\
            \frac{1}{\tau} &= \sum_{i = \textrm{\GT{:::scatter}}} \frac{1}{\tau_i}
        }
    \end{formula}

    \begin{formula}{processes}
        \desc{Scattering processes}{}{$\theta_\txD$ \qtyRef{debye_temperature}, \QtyRef{temperature}, \QtyRef{mobility}}
        \desc[german]{Streuprozesse}{}{}
        \newFormulaEntry
        \centering
        \begin{tabular}{c|C|c}
            Process & \mu\propto T\\ \hline
            Acoustic phonons & \mu\propto T^{-3/2} & \string~ \GT{elastic}\\
            Ionized impurities & \mu\propto T^{3/2} & \GT{elastic} \\
            Piezoelectric & \mu\propto T^{-1/2} & \GT{elastic} \\
            Polar optical phonons & \mu\propto \Exp{\theta_\txD/T} \text{ for } T < \theta_\txD & \GT{inelastic}
        \end{tabular}
        \fig{img/cm_scattering.pdf}
        \TODO{Impurities at low T, phonon scattering at high T (>100K), maybe plot at slide 317 combined notes adv. sc}
    \end{formula}

    \begin{formula}{gunn_effect}
        \desc{Gunn effect}{through Intervalley scattering}{}
        \desc[german]{Gunn-Effekt}{durch Intervalley Streuung}{}
        \ttxt{\eng{
                If the carrier energies are high enough, they can scatter into a neighboring band minimum, where they have a higher \qtyRef{effective_mass} and lower \qtyRef{mobility}.
                 \Rightarrow current decreases again (negative differential resistivity)
        }\ger{
            Bei ausreichend hoher Energie der Ladungsträger können diese in ein benachbartes Minimum streuen.
            Da sie dort eine höhere \qtyRef{effective_mass} und dadurch niedrigere \qty-ref{mobility} haben, verringert sich der Strom wieder (negative Resistivität)
        }}
    \end{formula}

\Subsection{misc}
    \desc{misc}{}{}
    \desc[german]{misc}{}{}
    \begin{formula}{tsu_esaki}
        \desc{Tsu-Esaki tunneling current}{Describes the current $I_{\txL \leftrightarrow \txR}$ through a barrier}{$\mu_i$ \qtyRef{chemical_potential} at left/right side, $U_i$ voltage on left/right side. Electrons occupy region between $U_i$ and $\mu_i$}
        \desc[german]{Tsu-Esaki Tunnelstrom}{Beschreibt den Strom $I_{\txL \leftrightarrow \txR}$ durch eine Barriere }{$\mu_i$ \qtyRef{chemical_potential} links/rechts, $U_i$ Spannung links/rechts. Elektronen besetzen Bereich zwischen $U_i$ und $\mu_i$}
        \eq{
            I_\text{T} = \frac{2e}{h} \int_{U_\txL}^\infty \left(f(E, \mu_\txL) -f(E, \mu_\txR)\right) T(E) \d E
        }
    \end{formula}

    \begin{formula}{diffusion}
        \desc{Diffusion current}{Equilibration of concentration gradients}{\QtyRef{diffusion_coefficient}, \ConstRef{charge}, $n,p$ \qtyRef{charge_carrier_density}}
        \desc[german]{Diffunsstrom}{Ausgleich von Konzentrationsgradienten}{}
        \eq{\vec{j}_\text{diff} = -\abs{e} D_n \left(-\Grad n\right) + \abs{e} D_p \left(-\Grad p\right)}
    \end{formula}

    \begin{formula}{continuity}
        \desc{Charge continuity equation}{Electric charge can only change by the amount of electric current}{\QtyRef{charge_density}, \QtyRef{current_density}}
        \desc[german]{Kontinuitätsgleichung der Ladung}{Elektrische Ladung kann sich nur durch die Stärke des Stromes ändern}{}
        \eq{
            \pdv{\rho}{t} = - \nabla \vec{j}
        }
    \end{formula}
    
