\Section{vib}
    \desc{Lattice vibrations}{}{}
    \desc[german]{Gitterschwingungen}{}{}

    \begin{formula}{speed_of_sound}
        \desc{Speed of sound}{Speed with which vibrations propagate through an elastic medium}{}
        \desc[german]{Schallgeschwindigkeit}{Geschwindigkeit, mit der sich Vibrationen in einem elastischem Medium ausbreiten}{}
        \quantity{v}{\m\per\s}{s}
    \end{formula}

    \begin{formula}{dispersion_1atom_basis}
        \desc{Phonon dispersion of a lattice with a one-atom basis}{same as the dispersion of a linear chain}{$C_n$ force constants between layer $s$ and $s+n$, $M$ \qtyRef{mass} of the reference atom, $a$ \qtyRef{lattice_constant}, $q$ phonon \qtyRef{wavevector}, $u$ Ansatz for the atom displacement}
        \desc[german]{Phonondispersion eines Gitters mit zweiatomiger Basis}{gleich der Dispersion einer linearen Kette}{$C_n$ Kraftkonstanten zwischen Ebene $s$ und $s+n$, $M$ \qtyRef{mass} des Referenzatoms, $a$ \qtyRef{lattice_constant}, $q$ Phonon \qtyRef{wavevector}, $u$ Ansatz für die Atomauslenkung}
        \begin{gather}
            \omega^2 = \frac{4C_1}{M}\left[\sin^2 \left(\frac{qa}{2}\right) + \frac{C2}{C1} \sin^2(qa)\right] \\
            \intertext{\GT{with}}
            u_{s+n} = U\e^{-i \left[\omega t - q(s+n)a \right]}
        \end{gather}
        \newFormulaEntry
        \fig{img/cm_vib_dispersion_one_atom_basis.pdf}
    \end{formula}
    \begin{formula}{dispersion_2atom_basis}
        \desc{Phonon dispersion of a lattice with a two-atom basis}{}{$C$ force constant between layers, $M_i$ \qtyRef{mass} of the basis atoms, $a$ \qtyRef{lattice_constant}, $q$ phonon \qtyRef{wavevector}, $u, v$ Ansatz for the displacement of basis atom 1 and 2, respectively}
        \desc[german]{Phonondispersion eines Gitters mit einatomiger Basis}{}{$C$ Kraftkonstanten zwischen Ebene $s$ und $s+n$, $M_i$ \qtyRef{mass} der Basisatome, $a$ \qtyRef{lattice_constant}, $q$ Phonon \qtyRef{wavevector}, $u, v$ jeweils Ansatz für die Atomauslenkung des Basisatoms 1 und 2}
        \begin{gather}
            \omega^2_{\txa,\txo} = C \left(\frac{1}{M_1}+\frac{1}{M_2}\right) \mp C \sqrt{\left(\frac{1}{M_1}+\frac{1}{M_2}\right)^2 - \frac{4}{M_1M_2} \sin^2 \left(\frac{qa}{2}\right)}
            \intertext{\GT{with}}
            u_{s} = U\e^{-i \left(\omega t - qsa \right)}, \quad
            v_{s} = V\e^{-i \left(\omega t - qsa \right)}
        \end{gather}
        \newFormulaEntry
        \fig{img/cm_vib_dispersion_two_atom_basis.pdf}
    \end{formula}

    \begin{formula}{branches}
        \desc{Vibration branches}{}{}
        \desc[german]{Vibrationsmoden}{}{}
        \ttxt{\eng{
            \textbf{Acoustic}: 3 modes (1 longitudinal, 2 transversal), the two basis atoms oscillate in phase.
            \\\textbf{Optical}: 3 modes, the two basis atoms oscillate in opposition. A dipole moment is created that can couple to photons.
        }\ger{
            \textbf{Akustisch}: 3 Moden (1 longitudinal, 2 transversal), die zwei Basisatome schwingen in Phase.
            \\ \textbf{Optisch}: 3 Moden, die zwei Basisatome schwingen gegenphasig. Das dadurch entstehende Dipolmoment erlaubt die Wechselwirkung mit Photonen.
        }}
    \end{formula}

    \begin{formula}{petit-dulong}
        \absLabel
        \desc{Petit-Dulong law}{Empirical heat capacity at high temperatures}{$C_\txm$ molar \qtyRef{heat_capacity}, \ConstRef{avogadro}, \ConstRef{boltzmann}, \ConstRef{gas}}
        \desc[german]{Petit-Dulong Gesetz}{Empirische Wärmekapazität bei hohen Temperaturen}{}
        \eq{C_\txm = 3\NA \kB = 3R \approx \SI{25}{\joule\per\mol\kelvin}}
    \end{formula}   

    \Subsection{einstein}
        \desc{Einstein model}{}{}
        \desc[german]{Einstein-Modell}{}{}
        \begin{formula}{description}
            \desc{Description}{}{}
            \desc[german]{Beschreibung}{}{}
            \ttxt{\eng{
                All lattice vibrations have the \fRef[same frequency]{:::frequency}.
                Underestimates the \fRef{:::heat_capacity} for low temperatures.
            }\ger{
                Alle Gittereigenschwingungen haben die \fRef[selbe Frequenz]{:::frequency}
                Sagt zu kleine \fRef[Wärmekapazitäten]{:::heat_capacity} für tiefe Temperaturen voraus.
            }}
        \end{formula}
        \begin{formula}{frequency}
            \desc{Einstein frequency}{}{}
            \desc[german]{Einstein-Frequenz}{}{}
            \eq{\omega_\txE}
        \end{formula}
        \begin{formula}{heat_capacity}
            \desc{\qtyRef{heat_capacity}}{according to the Einstein model}{}
            \desc[german]{}{nach dem Einstein-Modell}{}
            \eq{C_V^\txE = 3N\kB \left( \frac{\hbar\omega_\txE}{\kB T}\right)^2 \frac{\e^{\frac{\hbar\omega_\txE}{\kB T}}}{ \left(\e^{\frac{\hbar\omega_\txE}{\kB T}} - 1\right)^2}}
        \end{formula}

    \Subsection{debye}
        \desc{Debye model}{}{}
        \desc[german]{Debye-Modell}{}{}
        \begin{formula}{description}
            \desc{Description}{}{}
            \desc[german]{Beschreibung}{}{}
            \ttxt{\eng{
                Atoms behave like coupled \fRef[quantum harmonic oscillators]{sec:qm:hosc}. The finite sample size leads to periodic boundary conditio. The finite sample size leads to periodic boundary conditions for the vibrations.
            }\ger{
                Atome verhalten sich wie gekoppelte \fRef[quantenmechanische harmonische Oszillatoren]{sec:qm:hosc}. Die endliche Ausdehnung des Körpers führt zu periodischen Randbedingungen. 
            }}
        \end{formula}

        \begin{formula}{phonon_dos}
            \desc{Phonon density of states}{}{\QtyRef{volume}, $v$ \qtyRef{speed_of_sound} of the phonon mode, $\omega$ phonon frequency}
            \desc[german]{Phononenzustandsdichte}{}{\QtyRef{volume}, $v$ \qtyRef{speed_of_sound} des Dispersionszweigs, $\omega$ Phononfrequenz}
            \eq{D(\omega) \d \omega = \frac{V}{2\pi^2} \frac{\omega^2}{v^3} \d\omega}
        \end{formula}

        \begin{formula}{debye_frequency}
            \desc{Debye frequency}{Maximum phonon frequency}{$v$ \qtyRef{speed_of_sound}, $N/V$ atom density}
            \desc[german]{Debye-Frequenz}{Maximale Phononenfrequenz}{$v$ \qtyRef{speed_of_sound}, $N/V$ Atomdichte}
            \eq{\omega_\txD = v \left(6\pi^2 \frac{N}{V}\right)^{1/3}}
            \hiddenQuantity{\omega_\txD}{\per\s}{s}
        \end{formula}

        \begin{formula}{heat_capacity}
            \desc{\qtyRef{heat_capacity}}{according to the Debye model}{$N$ number of atoms, \ConstRef{boltzmann}, \QtyRef{debye_frequency}}
            \desc[german]{}{nach dem Debye-Modell}{$N$ Anzahl der Atome, \ConstRef{boltzmann}, \QtyRef{debye_frequency}}
            \eq{C_V^\txD = 9N\kB \left(\frac{\kB T}{\hbar \omega_\txD}\right)^3 \int_0^{\frac{\hbar\omega_\txD}{\kB T}} \d x \frac{x^4 \e^x}{(\e^x-1)^2} }
        \end{formula}



