\Section{charge_transport}
    \desc{Charge transport}{}{}
    \desc[german]{Ladungstransport}{}{}

\Subsection{drude}
    \desc{Drude model}{}{}
    \desc[german]{Drude-Modell}{}{}
    \begin{formula}{description}
        \desc{Description}{}{}
        \desc[german]{Beschreibung}{}{}
        \ttxt{\eng{
            Classical model describing the transport properties of electrons in materials (metals):
            The material is assumed to be an ion lattice and with freely moving electrons (electron gas). The electrons are 
            accelerated by an electric field and decelerated through collisions with the lattice ions.
            The model disregards the Fermi-Dirac partition of the conducting electrons.
        }\ger{
            Ein klassisches Model zur Beschreibung der Transporteigenschaften von Elektronen in (v.a.) Metallen:
            Der Festkörper wird als Ionenkristall mit frei beweglichen Elektronen (Elektronengas). 
            Die Elektronen werden durch ein Elektrisches Feld $E$ beschleunigt und durch Stöße mit den Gitterionen gebremst.
            Das Modell vernachlässigt die Fermi-Dirac Verteilung der Leitungselektronen.
        }}
    \end{formula}
    \begin{formula}{eom}
        \desc{Equation of motion}{}{$v$ electron speed, $\vec{v}_\text{D}$ drift velocity, \QtyRef{scattering_time}}
        \desc[german]{Bewegungsgleichung}{}{$v$ Elektronengeschwindigkeit, $\vec{v}_\text{D}$ Driftgeschwindigkeit, \QtyRef{scattering_time}}
        \eq{\masse \odv{\vec{v}}{t} + \frac{\masse}{\tau} \vec{v}_\text{D} = -e \vec{\E}}
    \end{formula}
    \begin{formula}{scattering_time}
        \desc{Scattering time}{Momentum relaxation time}{}
        \desc[german]{Streuzeit}{}{}
        \quantity{\tau}{\s}{s}
        \ttxt{
            \eng{The average time between scattering events weighted by the characteristic momentum change cause by the scattering process.}
        }
    \end{formula}
    \begin{formula}{current_density}
        \desc{Current density}{Ohm's law}{\QtyRef{charge_carrier_density}, \ConstRef{charge}, \QtyRef{drift_velocity}, \QtyRef{mobility}, \QtyRef{electric_field}}
        \desc[german]{Stromdichte}{Ohmsches Gesetz}{}
        \quantity{\vec{j}}{\ampere\per\m^2}{v}
        \eq{\vec{j} = -ne\vec{v}_\text{D} = ne\mu \vec{\E}}
    \end{formula}

    \begin{formula}{conductivity}
        \desc{Electrical conductivity}{Both from Drude model and Sommerfeld model}{\QtyRef{current_density}, \QtyRef{electric_field}, \QtyRef{charge_carrier_density}, \ConstRef{charge}, \QtyRef{scattering_time}, \ConstRef{electron_mass}, \QtyRef{mobility}}
        \desc[german]{Elektrische Leitfähigkeit}{Aus dem Drude-Modell und dem Sommerfeld-Modell}{}
        \quantity{\sigma}{\siemens\per\m=\per\ohm\m=\ampere^2\s^3\per\kg\m^3}{t}
        \eq{\sigma = \frac{\vec{j}}{\vec{\E}} = \frac{n e^2 \tau}{\masse} = n e \mu}
    \end{formula}

\Subsection{sommerfeld}
    \desc{Sommerfeld model}{}{}
    \desc[german]{Sommerfeld-Modell}{}{}
    \begin{formula}{description}
        \desc{Description}{}{}
        \desc[german]{Beschreibung}{}{}
        \ttxt{
            \eng{Assumes a gas of free fermions underlying the pauli-exclusion principle. Only electrons in an energy range of $\kB T$ around the Fermi energy $\EFermi$ participate in scattering processes. The \qtyRef{conductivity} is the same as in \fRef{::::drude}}
            \ger{Annahme eines freien Fermionengases, welches dem Pauli-Prinzip unterliegt. Nur Elektronen in einem Energiebereich von $\kB T$ um die Fermi Energe $\EFermi$ nehmen an Streuprozessen teil. Die \qtyRef{conductivity} ist die selbe wie im \fRef{::::drude}}
        }
    \end{formula}
    \begin{formula}{current_density}
        \desc{Electrical current density}{}{}
        \desc[german]{Elektrische Stromdichte}{}{}
        \eq{\vec{j} = -en\braket{v} = -e n \frac{\hbar}{\masse}\braket{\vec{k}} = -e \frac{1}{V} \sum_{\vec{k},\sigma} \frac{\hbar \vec{k}}{\masse}}
    \end{formula}

\Subsection{boltzmann}
    \desc{Boltzmann-transport}{}{}
    \desc[german]{Boltzmann-Transport}{}{}
    \begin{ttext}
        \eng{Semiclassical description using a probability distribution (\fRef{cm:sc:fermi_dirac}) to describe the particles.}
        \ger{Semiklassische Beschreibung, benutzt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung (\fRef{cm:sc:fermi_dirac}).}
    \end{ttext}
    \begin{formula}{boltzmann_transport}
        \desc{Boltzmann Transport equation}{for charge transport}{$f$ \fRef{cm:sc:fermi_dirac}}
        \desc[german]{Boltzmann-Transportgleichung}{für Ladungstransport}{}
        \eq{
            \pdv{f(\vec{r},\vec{k},t)}{t} = -\vec{v} \cdot \Grad_{\vec{r}} f - \frac{e}{\hbar}(\vec{\mathcal{E}} + \vec{v} \times \vec{B}) \cdot \Grad_{\vec{k}} f + \left(\pdv{f(\vec{r},\vec{k},t)}{t}\right)_{\text{\GT{scatter}}}
        }
    \end{formula}

\Subsection{mag}
    \desc{Magneto-transport}{}{}
    \desc[german]{Magnetotransport}{}{}
    \begin{formula}{cyclotron_frequency}
        \desc{Cyclotron frequency}{Moving charge carriers move in cyclic orbits under applied magnetic field}{$q$ \qtyRef{charge}, \QtyRef{magnetic_flux_density}, m \qtyRef[effective]{mass}}
        \desc[german]{Zyklotronfrequenz}{Ladungstraäger bewegen sich in einem Magnetfeld auf einer Kreisbahn}{}
        \eq{w_\txc = \frac{qB}{m}}
    \end{formula}

    \TODO{TODO}
    % \begin{formula}{cyclotron_resonance}
    %     \desc{}{}{}
    %     \desc[german]{}{}{}
    %     \eq{}
    % \end{formula}

    \Subsubsection{hall}
        \desc{Hall-Effect}{}{}
        \desc[german]{Hall-Effekt}{}{}


        \Paragraph{classic}
            \desc{Classical Hall-Effect}{Current flowing in $x$ direction in a conductor ($l \times b \times d$) with a magnetic field $B$ in $z$ direction leads to a hall voltage $U_\text{H}$ in $y$ direction.}{}
            \desc[german]{Klassischer Hall-Effekt}{Fließt in einem Leiter ($l \times b \times d$) ein Strom in $x$ Richtung, während der Leiter von einem Magnetfeld $B$ in $z$-Richtung durchdrungen, wird eine Hallspannung $U_\text{H}$ in $y$-Richtung induziert.}{}
            \begin{formula}{voltage}
                \desc{Hall voltage}{}{$n$ charge carrier density}
                \desc[german]{Hallspannung}{}{$n$ Ladungsträgerdichte}
                \eq{U_\text{H} = \frac{I B}{ne d}}
            \end{formula}

            \begin{formula}{coefficient}
                \desc{Hall coefficient}{Sometimes $R_\txH$}{}
                \desc[german]{Hall-Koeffizient}{Manchmal $R_\txH$}{}
                \eq{A_\text{H} := -\frac{E_y}{j_x B_z} \explOverEq{\GT{metals}} \frac{1}{ne} = \frac{\rho_{xy}}{B_z}}
            \end{formula}

            \begin{formula}{resistivity}
                \desc{Resistivity}{}{}
                \desc[german]{Spezifischer Widerstand}{}{}
                \eq{\rho_{xx} &= \frac{\masse}{ne^2\tau} \\ \rho_{xy} &= \frac{B}{ne}}
            \end{formula}


        \Paragraph{quantum}
            \desc{Quantum hall effects}{}{}
            \desc[german]{Quantenhalleffekte}{}{}  
            \begin{formula}{types}
                \desc{Types of quantum hall effects}{}{}
                \desc[german]{Arten von Quantenhalleffekten}{}{}
                \ttxt{\eng{
                    \begin{itemize}
                        \item \textbf{Integer} (QHE): filling factor $\nu$ is an integer
                        \item \textbf{Fractional} (FQHE): filling factor $\nu$ is a fraction
                        \item \textbf{Spin} (QSHE): spin currents instead of charge currents
                        \item \textbf{Anomalous} (QAHE): symmetry breaking by internal effects instead of external magnetic fields
                    \end{itemize}
                }\ger{
                    \begin{itemize}
                        \item \textbf{Integer} (QHE): Füllfaktor $\nu$ ist ganzzahlig
                        \item \textbf{Fractional} (FQHE): Füllfaktor $\nu$ ist ein Bruch
                        \item \textbf{Spin} (QSHE): Spin Ströme anstatt Ladungsströme
                        \item \textbf{Anomalous} (QAHE): Symmetriebruch durch interne Effekte anstatt druch ein externes Magnetfeld
                    \end{itemize}
                }}
            \end{formula}
        


            \begin{formula}{conductivity}
                \desc{Conductivity tensor}{}{}
                \desc[german]{Leitfähigkeitstensor}{}{}
                \eq{\sigma = \begin{pmatrix} \sigma_{xy} & \sigma_{xy} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} \end{pmatrix} }
            \end{formula}

            \begin{formula}{resistivity_tensor}
                \desc{Resistivity tensor}{}{}
                \desc[german]{Spezifischer Widerstands-tensor}{}{}
                \eq{
                    \rho = \sigma^{-1}
                    % \sigma = \begin{pmatrix} \sigma_{xy} & \sigma_{xy} \\ \sigma_{yx} & \sigma_{yy} \end{pmatrix} }
                }
            \end{formula}

            \begin{formula}{resistivity}
                \desc{Resistivity}{}{$\nu \in \mathbb{Z}$ filing factor}
                \desc[german]{Spezifischer Hallwiderstand}{}{$\nu \in \mathbb{Z}$ Füllfaktor}
                \eq{\rho_{xy} = \frac{2\pi\hbar}{e^2} \frac{1}{\nu}}
            \end{formula}

            % \begin{formula}{qhe}
            %     \desc{Integer quantum hall effect}{}{}
            %     \desc[german]{Ganzahliger Quanten-Hall-Effekt}{}{}
            %     \fig{img/qhe-klitzing.jpeg}
            % \end{formula}

            \begin{formula}{fqhe}
                \desc{Fractional quantum hall effect}{}{$\nu$ fraction of two numbers without shared divisors}
                \desc[german]{Fraktionaler Quantum-Hall-Effekt}{}{$\nu$ Bruch aus Zahlen ohne gemeinsamen Teiler}
                \eq{\nu = \frac{1}{3},\frac{2}{5},\frac{3}{7},\frac{2}{3}...}
            \end{formula}
    

\Subsection{misc}
    \desc{misc}{}{}
    \desc[german]{misc}{}{}
    \begin{formula}{tsu_esaki}
        \desc{Tsu-Esaki tunneling current}{Describes the current $I_{\txL \leftrightarrow \txR}$ through a barrier}{$\mu_i$ \qtyRef{chemical_potential} at left/right side, $U_i$ voltage on left/right side. Electrons occupy region between $U_i$ and $\mu_i$}
        \desc[german]{Tsu-Esaki Tunnelstrom}{Beschreibt den Strom $I_{\txL \leftrightarrow \txR}$ durch eine Barriere }{$\mu_i$ \qtyRef{chemical_potential} links/rechts, $U_i$ Spannung links/rechts. Elektronen besetzen Bereich zwischen $U_i$ und $\mu_i$}
        \eq{
            I_\text{T} = \frac{2e}{h} \int_{U_\txL}^\infty \left(f(E, \mu_\txL) -f(E, \mu_\txR)\right) T(E) \d E
        }
    \end{formula}

    \begin{formula}{diffusion}
        \desc{Diffusion current}{Equilibration of concentration gradients}{\QtyRef{diffusion_coefficient}, \ConstRef{charge}, $n,p$ \qtyRef{charge_carrier_density}}
        \desc[german]{Diffunsstrom}{Ausgleich von Konzentrationsgradienten}{}
        \eq{\vec{j}_\text{diff} = -\abs{e} D_n \left(-\Grad n\right) + \abs{e} D_p \left(-\Grad p\right)}
    \end{formula}

    \begin{formula}{continuity}
        \desc{Charge continuity equation}{Electric charge can only change by the amount of electric current}{\QtyRef{charge_density}, \QtyRef{current_density}}
        \desc[german]{Kontinuitätsgleichung der Ladung}{Elektrische Ladung kann sich nur durch die Stärke des Stromes ändern}{}
        \eq{
            \pdv{\rho}{t} = - \nabla \vec{j}
        }
    \end{formula}
