\def\vecr{{\vec{r}}}
\def\abohr{a_\textrm{B}}

\Section{h}
    \desc{Hydrogen Atom}{}{}
    \desc[german]{Wasserstoffatom}{}{}

\begin{formula}{reduced_mass}
    \desc{Reduced mass}{}{}
    \desc[german]{Reduzierte Masse}{}{}
    \eq{\mu = \frac{\masse m_\textrm{K}}{\masse + m_\textrm{K}} \explOverEq[\approx]{$\masse \ll m_\textrm{K}$} \masse}
\end{formula}   

\begin{formula}{potential}
    \desc{Coulumb potential}{For a single electron atom}{$Z$ atomic number}
    \desc[german]{Coulumb potential}{Für ein Einelektronenatom}{$Z$ Ordnungszahl/Kernladungszahl}
    \eq{V(\vecr) = \frac{Z\,e^2}{4\pi\epsilon_0 r}}
\end{formula}
\begin{formula}{hamiltonian}
    \desc{Hamiltonian}{}{}
    \desc[german]{Hamiltonian}{}{}
    % \eq{V(\vecr) = \frac{Z\,e^2}{4\pi\epsilon_0 r}}
    \eq{
        \hat{H} &= -\frac{\hbar^2}{2\mu} {\Grad_\vecr}^2 - V(\vecr) \\
                &= \frac{\hat{p}_r^2}{2\mu} + \frac{\hat{L}^2}{2\mu r} + V(r)
    }
\end{formula}

\begin{formula}{wave_function}
    \desc{Wave function}{}{$R_{nl}(r)$ \fRef{qm:h:radial}, $Y_{lm}$ \fRef{qm:spherical_harmonics}}
    \desc[german]{Wellenfunktion}{}{}
    \eq{\psi_{nlm}(r, \theta, \phi) = R_{nl}(r)Y_{lm}(\theta,\phi)}
\end{formula}

\begin{formula}{radial}
    \desc{Radial part}{}{$L_r^s(x)$ Laguerre-polynomials}
    \desc[german]{Radialanteil}{}{$L_r^s(x)$ Laguerre-Polynome}
    \eq{
        R_{nl} &= - \sqrt{\frac{(n-l-1)!(2\kappa)^3}{2n[(n+l)!]^3}} (2\kappa r)^l \e^{-\kappa r} L_{n+1}^{2l+1}(2\kappa r)
        \shortintertext{\GT{with}} 
        \kappa &= \frac{\sqrt{2\mu\abs{E}}}{\hbar} = \frac{Z}{n \abohr}
    }
\end{formula}

\begin{formula}{energy}
    \desc{Energy eigenvalues}{}{}
    \desc[german]{Energieeigenwerte}{}{}
    \eq{E_n &= \frac{Z^2\mu e^4}{n^2(4\pi\epsilon_0)^2 2\hbar^2} = -E_\textrm{H}\frac{Z^2}{n^2}}
\end{formula}

\begin{formula}{rydberg_constant_heavy}
    \desc{Rydberg constant}{for heavy atoms}{\ConstRef{electron_mass}, \ConstRef{charge}, \ConstRef{vacuum_permittivity}, \ConstRef{planck}, \ConstRef{vacuum_speed_of_light}}
    \desc[german]{Rydberg-Konstante}{für schwere Atome}{}
    \constant{R_\infty}{exp}{
        \val{10973731.568157(12)}{\per\m}
    }
    \eq{
        R_\infty = \frac{m_e e^4}{8\epsilon_0^2 h^3 c}
    }
\end{formula}

\begin{formula}{rydberg_constant_corrected}
    \desc{Rydberg constant}{corrected for nucleus mass $M$}{\ConstRef{rydberg_constant_heavy}, $\mu = \left(\frac{1}{m_\txe} + \frac{1}{M}\right)^{-1}$ \GT{reduced_mass}, \ConstRef{electron_mass}}
    \desc[german]{Rydberg Konstante}{korrigiert für Kernmasse $M$}{}
    \eq{R_\txM = \frac{\mu}{m_\txe} R_\infty}
\end{formula}

\begin{formula}{rydberg_energy}
    \desc{Rydberg energy}{Energy unit}{\ConstRef{rydberg_constant_heavy}, \ConstRef{planck}, \ConstRef{vacuum_speed_of_light}}
    \desc[german]{Rydberg-Energy}{Energie Einheit}{}
    \eq{1\,\text{Ry} = hc\,R_\infty}
\end{formula}

\begin{formula}{bohr_radius}
    \desc{Bohr radius}{}{\ConstRef{vacuum_permittivity}, \ConstRef{electron_mass}}
    \desc[german]{Bohrscher Radius}{}{}
    \constant{a_0}{exp}{
        \val{5.29177210544(82) \xE{-11}}{\m}
    }
    \eq{a_0 = \frac{4\pi \epsilon_0 \hbar^2}{e^2 m_\txe}}
\end{formula}

\begin{formula}{hunds_rules}
    \desc{Hund's rules}{Angular momentum configuration rules for electrons in atomic orbitals in the atom's ground state}{}
    \desc[german]{Hundsche Regeln}{Drehimpulskonfiguration für Elektronen in Atomorbitalen im Grundzustand des Atoms }{}
    \ttxt{\eng{
        \begin{enumerate}
            \item Full shells: $J=0$
            \item $S$ takes the maximum possible value
            \item For equal $S$ configurations, the one where $L$ is maximized is taken
            \item Outermost shell half filled or less \Rightarrow $J$ minimized: $J=\abs{L-S}$ \\
                  Outermost shell more than half filled \Rightarrow $J$ maximized $J=L+S$ 
        \end{enumerate}
    }\ger{
        \begin{enumerate}
            \item Volle Schalen haben Gesamtdrehimpuls 0: $J=0$
            \item $S$ nimmt den höchstmöglichsten Wert an
            \item Für gleiche $S$ wird $L$ maximiert
            \item Äußerste Schale halb oder weniger gefüllt \Rightarrow $J$ minimiert: $J=\abs{L-S}$\\
                Äußerste Schale mehr als halb gefüllt \Rightarrow $J$ maximiert: $J=L+S$
        \end{enumerate}
    }}
\end{formula}

\Subsection{corrections}
    \desc{Corrections}{}{}
    \desc[german]{Korrekturen}{}{}

    \Subsubsection{darwin}
        \desc{Darwin term}{Relativisitc correction: Accounts for interaction with nucleus (non-zero wavefunction at nucleaus position)}{}
        \desc[german]{Darwin-Term}{Relativistische Korrektur: Berücksichtigt die Interatkion mit dem Kern (endliche Wellenfunktion bei der Kernposition)}{}
        \begin{formula}{energy_shift}
            \desc{Energy shift}{}{}
            \desc[german]{Energieverschiebung}{}{}
            \eq{\Delta E_\textrm{rel} = -E_n \frac{Z^2\alpha^2}{n} \Big(\frac{3}{4n} - \frac{1}{l+ \frac{1}{2}}\Big)}
        \end{formula}

        \begin{formula}{fine_structure_constant}
            \desc{Fine-structure constant}{Sommerfeld constant}{}
            \desc[german]{Feinstrukturkonstante}{Sommerfeldsche Feinstrukturkonstante}{}
            \eq{\alpha = \frac{e^2}{4\pi\epsilon_0\hbar c} \approx \frac{1}{137}}
        \end{formula}

    \Subsubsection{ls_coupling}
        \desc{Spin-orbit coupling (LS-coupling)}{The interaction of the electron spin with the electrostatic field of the nuclei lead to energy shifts.}{}
        \desc[german]{Spin-Bahn-Kopplung (LS-Kopplung)}{The Wechselwirkung zwischen dem Elektronenspin und dem elektrostatischen Feld des Kerns führt zu Energieverschiebungen.}{}

        \begin{formula}{energy_shift}
            \desc{Energy shift}{}{}
            \desc[german]{Energieverschiebung}{}{}
            \eq{\Delta E_\text{LS} = \frac{\mu_0 Z e^2}{8\pi \masse^2\,r^3} \braket{\vec{S} \cdot \vec{L}}}
        \end{formula}
        \begin{formula}{sl}
            \desc{Spin-orbit coupling}{}{}
            \desc[german]{Spin-Bahn-Kopplung}{}{}
            \eq{\braket{\vec{S} \cdot \vec{L}} &= \frac{1}{2} \braket{[J^2-L^2-S^2]} \nonumber \\
                                               &= \frac{\hbar^2}{2}[j(j+1) -l(l+1) -s(s+1)]}
        \end{formula}

    \Subsubsection{fine_structure}
        \desc{Fine-structure}{The fine-structure combines \fRef[relativistic corrections]{qm:h:corrections:darwin} and \fRef{qm:h:corrections:ls_coupling}.}{}
        \desc[german]{Feinstruktur}{Die Feinstruktur vereint \fRef[relativistische Korrekturen]{qm:h:corrections:darwin} und \fRef{qm:h:corrections:ls_coupling}.}{}
        \begin{formula}{energy_shift}
            \desc{Energy shift}{}{}
            \desc[german]{Energieverschiebung}{}{}
            \eq{\Delta E_\textrm{FS} = \frac{Z^2\alpha^2}{n}\Big(\frac{1}{j+\frac{1}{2}} - \frac{3}{4n}\Big)}
        \end{formula}


    \Subsubsection{lamb_shift}
        \desc{Lamb-shift}{The interaction of the electron with virtual photons emitted/absorbed by the nucleus leads to a (very small) shift in the energy level.}{}
        \desc[german]{Lamb-Shift}{The Wechselwirkung zwischen dem Elektron und vom Kern absorbierten/emittierten virtuellen Photonen führt zu einer (sehr kleinen) Energieverschiebung.}{}
        \begin{formula}{energy}
            \desc{Potential energy}{}{$\delta r$ pertubation of $r$}
            \desc[german]{Potentielle Energy}{}{$\delta r$ Schwankung von $r$}
            \eq{\braket{E_\textrm{pot}} = -\frac{Z e^2}{4\pi\epsilon_0} \Braket{\frac{1}{r+\delta r}}}
        \end{formula}

    \Subsubsection{hyperfine_structure}
        \desc{Hyperfine structure}{Interaction of the nucleus spin with the magnetic field created by the electron leads to energy shifts. (Lifts degeneracy) }{}
        \desc[german]{Hyperfeinstruktur}{Wechselwirkung von Kernspin mit dem vom Elektron erzeugten Magnetfeld spaltet Energieniveaus}{}
        \begin{formula}{nuclear_spin}
            \desc{Nuclear spin}{}{}
            \desc[german]{Kernspin}{}{}
            \eq{\vec{F} &= \vec{J} + \vec{I} \\
                \abs{\vec{I}} &= \sqrt{i(i+1)}\hbar \\
                I_z &= m_i\hbar \\
                m_i &= -i, -i+1, \dots, i-1, i
            }
        \end{formula}
        \begin{formula}{angular_momentum}
            \desc{Combined angular momentum}{}{}
            \desc[german]{Gesamtdrehimpuls}{}{}
            \eq{\vec{F} &= \vec{J} + \vec{I} \\
                \abs{\vec{F}} &= \sqrt{f(f+1)}\hbar \\
                F_z &= m_f\hbar
            }
        \end{formula}
        \begin{formula}{selection_rule}
            \desc{Selection rule}{}{}
            \desc[german]{Auswahlregel}{}{}
            \eq{f &= j \pm i \\ m_f &= -f,-f+1,\dots,f-1,f}
        \end{formula}
        \begin{formula}{constant}
            \desc{Hyperfine structure constant}{}{$B_\textrm{HFS}$ hyperfine field, $\mu_\textrm{K}$ nuclear magneton, $g_i$ nuclear g-factor \fRef{qm:h:lande}}
            \desc[german]{Hyperfeinstrukturkonstante}{}{$B_\textrm{HFS}$ Hyperfeinfeld, $\mu_\textrm{K}$ Kernmagneton, $g_i$ Kern-g-Faktor \fRef{qm:h:lande}}
            \eq{A = \frac{g_i \mu_\textrm{K} B_\textrm{HFS}}{\sqrt{j(j+1)}}}
        \end{formula}
        \begin{formula}{energy_shift}
            \desc{Energy shift}{}{}
            \desc[german]{Energieverschiebung}{}{}
            \eq{\Delta H_\textrm{HFS} = \frac{A}{2}[f(f+1) - j(j+1) -i(i+1)]}
        \end{formula}
        \TODO{landé factor}

\Subsection{mag_effects}
    \desc{Effects in magnetic field}{}{}
    \desc[german]{Effekte im Magnetfeld}{}{}
    \TODO{all} 

\Subsection{other}
    \desc{misc}{}{}
    \desc[german]{Sonstiges}{}{}
    \begin{formula}{auger_effect}
        \desc{Auger-Meitner-Effekt}{Auger-Effect}{}
        \desc[german]{Auger-Meitner-Effekt}{Auger-Effekt}{}
        \ttxt{
            \eng{An excited electron relaxes into a lower, unoccupied energy level. The released energy causes the emission of another electron in a higher energy level (Auger-Electron)}
            \ger{Ein angeregtes Elektron fällt in ein unbesetztes, niedrigeres Energieniveau zurück. Durch die frei werdende Energie verlässt ein Elektron aus einer höheren Schale das Atom (Auger-Elektron).}
        }
    \end{formula}

