\Section[
    \eng{Charge transport}
    \ger{Ladungstransport}
]{charge_transport}
\Subsection[
    \eng{Drude model}
    \ger{Drude-Modell}
]{drude}
    \begin{ttext}
        \eng{Classical model describing the transport properties of electrons in materials (metals):
            The material is assumed to be an ion lattice and with freely moving electrons (electron gas). The electrons are 
            accelerated by an electric field and decelerated through collisions with the lattice ions.
            The model disregards the Fermi-Dirac partition of the conducting electrons.
        }
        \ger{Ein klassisches Model zur Beschreibung der Transporteigenschaften von Elektronen in (v.a.) Metallen:
            Der Festkörper wird als Ionenkristall mit frei beweglichen Elektronen (Elektronengas). 
            Die Elektronen werden durch ein Elektrisches Feld $E$ beschleunigt und durch Stöße mit den Gitterionen gebremst.
            Das Modell vernachlässigt die Fermi-Dirac Verteilung der Leitungselektronen.
        }
    \end{ttext}
    \begin{formula}{motion}
        \desc{Equation of motion}{}{$v$ electron speed, $\vec{v}_\text{D}$ drift velocity, $\tau$ mean free time between collisions}
        \desc[german]{Bewegungsgleichung}{}{$v$ Elektronengeschwindigkeit, $\vec{v}_\text{D}$ Driftgeschwindigkeit, $\tau$ Stoßzeit}
        \eq{\masse \odv{\vec{v}}{t} + \frac{\masse}{\tau} \vec{v}_\text{D} = -e \vec{\E}}
    \end{formula}
    \begin{formula}{scattering_time}
        \desc{Scattering time}{Momentum relaxation time}{}
        \desc[german]{Streuzeit}{}{}
        \quantity{\tau}{\s}{s}
        \ttxt{
            \eng{$\tau$\\ the average time between scattering events weighted by the characteristic momentum change cause by the scattering process.}
        }
    \end{formula}
    \begin{formula}{current_density}
        \desc{Current density}{Ohm's law}{$n$ charge particle density}
        \desc[german]{Stromdichte}{Ohmsches Gesetz}{$n$ Ladungsträgerdichte}
        \quantity{\vec{j}}{\ampere\per\m^2}{v}
        \eq{\vec{j} = -ne\vec{v}_\text{D} = ne\mu \vec{\E}}
    \end{formula}
    \begin{formula}{conductivity}
        \desc{Drude-conductivity}{}{}
        \desc[german]{Drude-Leitfähigkeit}{}{}
        \eq{\sigma = \frac{\vec{j}}{\vec{\E}} = \frac{e^2 \tau n}{\masse} = n e \mu}
    \end{formula}

\Subsection[
    \eng{Sommerfeld model}
    \ger{Sommerfeld-Modell}
]{sommerfeld}
    \begin{ttext}
        \eng{Assumes a gas of free fermions underlying the pauli-exclusion principle. Only electrons in an energy range of $\kB T$ around the Fermi energy $\EFermi$ participate in scattering processes.}
        \ger{Annahme eines freien Fermionengases, welches dem Pauli-Prinzip unterliegt. Nur Elektronen in einem Energiebereich von $\kB T$ um die Fermi Energe $\EFermi$ nehmen an Streuprozessen teil.}
    \end{ttext}
    \begin{formula}{current_density}
        \desc{Electrical current density}{}{}
        \desc[german]{Elektrische Stromdichte}{}{}
        \eq{\vec{j} = -en\braket{v} = -e n \frac{\hbar}{\masse}\braket{\vec{k}} = -e \frac{1}{V} \sum_{\vec{k},\sigma} \frac{\hbar \vec{k}}{\masse}}
    \end{formula}
    \TODO{The formula for the conductivity is the same as in the drude model?}

\Subsection[
    \eng{Boltzmann-transport}
    \ger{Boltzmann-Transport}
]{boltzmann}
    \begin{ttext}
        \eng{Semiclassical description using a probability distribution (\fqEqRef{stat:todo:fermi_dirac}) to describe the particles.}
        \ger{Semiklassische Beschreibung, benutzt eine Wahrscheinlichkeitsverteilung (\fqEqRef{stat:todo:fermi_dirac}).}
    \end{ttext}
    \begin{formula}{boltzmann_transport}
        \desc{Boltzmann Transport equation}{for charge transport}{$f$ \ref{stat:todo:fermi-dirac}}
        \desc[german]{Boltzmann-Transportgleichung}{für Ladungstransport}{}
        \eq{
            \pdv{f(\vec{r},\vec{k},t)}{t} = -\vec{v} \cdot \Grad_{\vec{r}} f - \frac{e}{\hbar}(\vec{\mathcal{E}} + \vec{v} \times \vec{B}) \cdot \Grad_{\vec{k}} f + \left(\pdv{f(\vec{r},\vec{k},t)}{t}\right)_{\text{\GT{scatter}}}
        }
    \end{formula}

\Subsection[
    \eng{misc}
    \ger{misc}
    ]{misc}
    \begin{formula}{tsu_esaki}
        \desc{Tsu-Esaki tunneling current}{Describes the current $I_{\txL \leftrightarrow \txR}$ through a barrier}{$\mu_i$ \qtyRef{chemical_pot} at left/right side, $U_i$ voltage on left/right side. Electrons occupy region between $U_i$ and $\mu_i$}
        \desc[german]{Tsu-Esaki Tunnelstrom}{Beschreibt den Strom $I_{\txL \leftrightarrow \txR}$ durch eine Barriere }{$\mu_i$ \qtyRef{chemical_pot} links/rechts, $U_i$ Spannung links/rechts. Elektronen besetzen Bereich zwischen $U_i$ und $\mu_i$}
        \eq{
            I_\text{T} = \frac{2e}{h} \int_{U_\txL}^\infty \left(f(E, \mu_\txL) -f(E, \mu_\txR)\right) T(E) \d E
        }
    \end{formula}

    \begin{formula}{continuity}
        \desc{Charge continuity equation}{Electric charge can only change by the amount of electric current}{\QtyRef{charge_density}, \QtyRef{current_density}}
        \desc[german]{Kontinuitätsgleichung der Ladung}{Elektrische Ladung kann sich nur durch die Stärke des Stromes ändern}{}
        \eq{
            \pdv{\rho}{t} = - \nabla \vec{j}
        }
    \end{formula}
