\Part[
    \eng{Condensed matter physics}
    \ger{Festkörperphysik}
]{cm}
    \TODO{Bonds, hybridized orbitals}
    \TODO{Lattice vibrations, van hove singularities, debye frequency}

    \begin{formula}{dos}
        \desc{Density of states (DOS)}{}{\QtyRef{volume}, $N$ number of energy levels, \QtyRef{energy}}
        \desc[german]{Zustandsdichte (DOS)}{}{\QtyRef{volume}, $N$ Anzahl der Energieniveaus, \QtyRef{energy}}
        \eq{D(E) = \frac{1}{V}\sum_{i=1}^{N} \delta(E-E(\vec{k_i}))}
    \end{formula}
    \begin{formula}{dos_parabolic}
        \desc{Density of states for parabolic dispersion}{Applies to \fqSecRef{cm:egas}}{}
        \desc[german]{Zustandsdichte für parabolische Dispersion}{Bei \fqSecRef{cm:egas}}{}
        \eq{
            D_1(E) &= \frac{1}{2\sqrt{c_k(E-E_0)}}  && (\text{1D}) \\
            D_2(E) &= \frac{\pi}{2c_k}              && (\text{2D}) \\
            D_3(E) &= \pi \sqrt{\frac{E-E_0}{c_k^3}}&& (\text{3D})
        }
    \end{formula}

    \Section[
        \eng{Lattice vibrations}
        \ger{Gitterschwingungen}
    ]{vib}

        \begin{formula}{dispersion_1atom_basis}
            \desc{Phonon dispersion of a lattice with a one-atom basis}{same as the dispersion of a linear chain}{$C_n$ force constants between layer $s$ and $s+n$, $M$ \qtyRef{mass} of the reference atom, $a$ \qtyRef{lattice_constant}, $q$ phonon \qtyRef{wavevector}, $u$ Ansatz for the atom displacement}
            \desc[german]{Phonondispersion eines Gitters mit zweiatomiger Basis}{gleich der Dispersion einer linearen Kette}{$C_n$ Kraftkonstanten zwischen Ebene $s$ und $s+n$, $M$ \qtyRef{mass} des Referenzatoms, $a$ \qtyRef{lattice_constant}, $q$ Phonon \qtyRef{wavevector}, $u$ Ansatz für die Atomauslenkung}
            \begin{gather}
                \omega^2 = \frac{4C_1}{M}\left[\sin^2 \left(\frac{qa}{2}\right) + \frac{C2}{C1} \sin^2(qa)\right] \\
                \intertext{\GT{with}}
                u_{s+n} = U\e^{-i \left[\omega t - q(s+n)a \right]}
            \end{gather}
            \fig{img/cm_phonon_dispersion_one_atom_basis.pdf}
        \end{formula}
        \TODO{Plots}
        \begin{formula}{dispersion_2atom_basis}
            \desc{Phonon dispersion of a lattice with a two-atom basis}{}{$C$ force constant between layers, $M_i$ \qtyRef{mass} of the basis atoms, $a$ \qtyRef{lattice_constant}, $q$ phonon \qtyRef{wavevector}, $u, v$ Ansatz for the displacement of basis atom 1 and 2, respectively}
            \desc[german]{Phonondispersion eines Gitters mit einatomiger Basis}{}{$C$ Kraftkonstanten zwischen Ebene $s$ und $s+n$, $M_i$ \qtyRef{mass} der Basisatome, $a$ \qtyRef{lattice_constant}, $q$ Phonon \qtyRef{wavevector}, $u, v$ jeweils Ansatz für die Atomauslenkung des Basisatoms 1 und 2}
            \begin{gather}
                \omega^2_{\txa,\txo} = C \left(\frac{1}{M_1}+\frac{1}{M_2}\right) \mp C \sqrt{\left(\frac{1}{M_1}+\frac{1}{M_2}\right)^2 - \frac{4}{M_1M_2} \sin^2 \left(\frac{qa}{2}\right)}
                \intertext{\GT{with}}
                u_{s} = U\e^{-i \left(\omega t - qsa \right)}, \quad
                v_{s} = V\e^{-i \left(\omega t - qsa \right)}
            \end{gather}
            \fig{img/cm_phonon_dispersion_two_atom_basis.pdf}
        \end{formula}

        \begin{formula}{branches}
            \desc{Vibration branches}{}{}
            \desc[german]{Vibrationsmoden}{}{}
            \ttxt{\eng{
                \textbf{Acoustic}: 3 modes (1 longitudinal, 2 transversal), the two basis atoms oscillate in phase.
                \\\textbf{Optical}: 3 modes, the two basis atoms oscillate in opposition. A dipole moment is created that can couple to photons.
            }\ger{
                \textbf{Akustisch}: 3 Moden (1 longitudinal, 2 transversal), die zwei Basisatome schwingen in Phase.
                \\ \textbf{Optisch}: 3 Moden, die zwei Basisatome schwingen gegenphasig. Das dadurch entstehende Dipolmoment erlaubt die Wechselwirkung mit Photonen.
            }}
        \end{formula}

        \Subsection[
            \eng{Debye model}
            \ger{Debye-Modell}
            ]{debye}
            \begin{ttext}
                \eng{Atoms behave like coupled \hyperref[sec:qm:hosc]{quantum harmonic oscillators}. The finite sample size leads to periodic boundary conditio. The finite sample size leads to periodic boundary conditions for the vibrations.}
                \ger{Atome verhalten sich wie gekoppelte \hyperref[sec:qm:hosc]{quantenmechanische harmonische Oszillatoren}. Die endliche Ausdehnung des Körpers führt zu periodischen Randbedingungen. }
            \end{ttext}


