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\documentclass[11pt, a4paper]{article}
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% \usepackage[utf8]{inputenc}
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\usepackage[german]{babel}
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\usepackage[left=2cm,right=2cm,top=2cm,bottom=2cm]{geometry}
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\usepackage{mathtools}
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\usepackage{MnSymbol} % for >>> \ggg sign
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\usepackage{derivative}
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\usepackage{bbold} % \mathbb font
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\usepackage{braket}
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\usepackage{siunitx}
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\usepackage{graphicx}
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\usepackage[shortlabels]{enumitem} % easily change enums to use letters, eg [(a)] or [a)]
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\usepackage{etoolbox}
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\usepackage{xcolor}
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\usepackage{float}
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\usepackage[hidelinks]{hyperref}
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\usepackage{subcaption}
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% \hypersetup{colorlinks = true, % Colours links instead of ugly boxes
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% urlcolor = blue, % Colour for external hyperlinks
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% linkcolor = cyan, % Colour of internal links
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% citecolor = red % Colour of citations
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% }
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\DeclarePairedDelimiter{\abs}{\lvert}{\rvert}
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% \DeclareMathOperator{\d}{d}
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\renewcommand{\d}{\text{d}}
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\DeclareMathOperator{\e}{e}
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\DeclareMathOperator{\T}{T} % transposed
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\DeclareMathOperator{\sgn}{sgn}
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\DeclareMathOperator{\tr}{tr}
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\DeclareMathOperator{\const}{const}
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\newcommand{\explUnder}[2][=]{%
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\underset{\substack{\uparrow\\\mathrlap{\text{\hspace{-1em}#2}}}}{#1}}
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\newcommand{\textbetweenrules}[2][.4pt]{%
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\par\vspace{\topsep}
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\noindent\makebox[\textwidth]{%
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\sbox0{#2}%
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\dimen0=.5\dimexpr\ht0+#1\relax
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\dimen2=-.5\dimexpr\ht0-#1\relax
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\leaders\hrule height \dimen0 depth \dimen2\hfill
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|
\quad #2\quad
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|
\leaders\hrule height \dimen0 depth \dimen2\hfill
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}\par\nopagebreak\vspace{\topsep}
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}
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\newcommand{\lecture}[1]{
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\textbetweenrules{Vorlesung #1}
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}
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\providecommand{\tightlist}{%
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\setlength{\itemsep}{0pt}\setlength{\parskip}{0pt}}
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\def\gt{>}
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\def\lt{<}
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\def\R{\mathbb{R}}
|
|
\def\F{\mathcal{F}}
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\newcommand{\Fvon}[1]{\mathcal{F}\left\{#1\right\}}
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|
\newcommand{\Zvon}[1]{\mathcal{Z}\left\{#1\right\}}
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|
\newcommand{\Fourier}[1]{
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|
\mathcal{F}\left\{#1\right\}
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|
}
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|
\title{%
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|
Einführung in die Digitale Signalverarbeitung \\
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|
\large Studentische Mitschrift zur Vorlesung
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}
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|
\author{Matthias Quintern}
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|
\date{\today}
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|
\begin{document}
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\maketitle
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|
\tableofcontents
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|
\newpage
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% \setcounter{page}{1}
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\lecture{1}
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|
\section{Grundbegriffe}
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|
\paragraph{Gegenstand} ~\\
|
|
Manipulation von Signalen, welche in der Form von Zahlenfolgen vorliegen.
|
|
Signale repräsentieren eine zu übermittelnde Nachricht. Heutzutage werden Signale zumeist elektrisch dargestellt; für das folgende ist die Repräsentation unerheblich
|
|
(nur der durch die physikalische Größe dargestellte Zahlenwert ist für uns relevant).\\
|
|
Digitale Signale kommen in der Natur normalerweise nicht vor, sondern müssen erst durch einen Umwandlungsmeachnismus aus analogen Signalen erzeugt werden.
|
|
Nach Bearbeitung durch Signalprozessor erfolgt die Rückumwandlung.
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|
\paragraph{Beispiel: Signal-Prozess-Kette eines analogen Telefons} ~\\
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|
Analoges Werte- und Zeit-kontinuierliches Signal
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|
\begin{enumerate}
|
|
\item Tiefpassfilter
|
|
\item Abtaster (entnimmt zu äquidistanten Zeitpunkten ``Amplitudenproben'' aus dem Signal)
|
|
\item Kompressor (Absenkung hoher Amplituden, Verstärkung kleiner Amplituden)
|
|
\item 8-bit AD-Wandler (Zeit und Wert-diskretes Signal)
|
|
\item Zahlenstrom zum Vermittlungspartner
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|
\item Vermittlung
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|
\item DA-Wandler
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|
\item Dekompression
|
|
\item Tiefpass
|
|
\item Analoges Ausgangssignal
|
|
\end{enumerate}
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|
|
|
\paragraph{Kennwerte} ~\\
|
|
International genormt, CCITT, ITU
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Übertragungsbereich: $\SI{300}{\Hz}\,\dots\, \SI{3,4}{\kilo\Hz}$ (ermöglicht Identifizierung)
|
|
\item Abtastrate: $\SI{8000}{\per\s} = \SI{8}{\kilo\Hz}$ \rightarrow alle $\SI{125}{\micro\s}$ ein Abtastwert
|
|
\item AD und DA-Wandler mit 8-bit \rightarrow Übertragungsrate $\SI{8000}{\per\s} \times \SI{8}{\bit} = \SI{68}{\kilo\bit\per\s}$
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
\noindent\textit{Könnte unvollständig sein, war bei Vorlesung 1 nicht anwesend.}
|
|
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|
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\lecture{2}
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|
\section{Signale}
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|
\subsection{Anwendungen digitaler Signaltechnik}
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|
\begin{itemize}
|
|
\item
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|
Bildverarbeitung
|
|
\item
|
|
Kommunikationstechnik
|
|
\item
|
|
Sprachsysnthetisierung
|
|
\end{itemize}
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|
|
|
\subsection{Analog vs. Digital}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item
|
|
D: Nur 2 states: 0/1 (z.B: 5V = 1, 0V = 0, oder besser $1 \ge 2.5$) \Rightarrow ungewollte flips unwahrscheinlich
|
|
\item
|
|
A: Kleine V Schwankung \Rightarrow Wertänderung
|
|
\item
|
|
D: Exakte Werte \Rightarrow
|
|
\begin{itemize}
|
|
\tightlist
|
|
\item
|
|
genauer
|
|
\item
|
|
besser reproduzierbar
|
|
\item
|
|
weniger Störanfällig
|
|
\end{itemize}
|
|
\item
|
|
D: Mikroelektronik - Kombination
|
|
\begin{itemize}
|
|
\tightlist
|
|
\item
|
|
Ermöglicht Operationen die analog nicht/schwer möglich sind
|
|
\item
|
|
Hohe Zuverlässigkeit
|
|
\item
|
|
Niedrige Produktionskosten
|
|
\item
|
|
Reprogrammierbarkeit/Freie Programmierbarkeit
|
|
\item
|
|
verarbeitung mehrdimensionaler Signale
|
|
\item
|
|
Schalung mit sehr langsamen Zeitverhalten
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{itemize}
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|
|
|
\subsection{Häufig genutzte
|
|
Signale}\label{huxe4ufig-genutzte-signale}
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|
|
\subsubsection{Trigonometrische
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|
Funktionen}\label{trigonometrische-funktionen}
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|
Charakterisiert durch: - Periode $T = t_1 - t_0 = 1/f$ -
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|
Nullphasenwinkel $\alpha = \omega t_0 = 2\pi f t_0$ - Amplitude $A$
|
|
|
|
z.B. $u(t) = A \sin(\omega (t-t_0))$
|
|
|
|
\subsubsection{Sprungfunktion s(t)}\label{sprungfunktion-st}
|
|
|
|
$s(t) = \{ 0\, \mathrm{für}\,x < 0, 1\, \mathrm{für}\,t >= 0$
|
|
Ermöglicht es, Signal auszublenden Bsp: Bestimmtes Signal $f(t)$
|
|
zwischen $t_1, t_2$ betrachten, rest wegschneiden:
|
|
\begin{equation}
|
|
f'(t) = f(t) \cdot [ s(t- t_1) - s(t - t_2) ]
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
% \begin{Shaded}
|
|
% \begin{Highlighting}[]
|
|
% \ImportTok{import}\NormalTok{ matplotlib.pyplot }\ImportTok{as}\NormalTok{ plt}
|
|
% \ImportTok{import}\NormalTok{ numpy }\ImportTok{as}\NormalTok{ np}
|
|
% \NormalTok{x }\OperatorTok{=}\NormalTok{ np.linspace(}\OperatorTok{{-}}\DecValTok{1}\NormalTok{, }\DecValTok{1}\NormalTok{, }\DecValTok{1000}\NormalTok{)}
|
|
% \AttributeTok{@np.vectorize}
|
|
% \KeywordTok{def}\NormalTok{ s(t):}
|
|
% \ControlFlowTok{return} \DecValTok{1} \ControlFlowTok{if}\NormalTok{ t }\OperatorTok{\textgreater{}=} \DecValTok{0} \ControlFlowTok{else} \DecValTok{0}
|
|
% \AttributeTok{@np.vectorize}
|
|
% \KeywordTok{def}\NormalTok{ f(t):}
|
|
% \ControlFlowTok{return}\NormalTok{ np.sin(np.pi }\OperatorTok{*}\NormalTok{ t) }\OperatorTok{*}\NormalTok{ (s(t }\OperatorTok{+} \FloatTok{0.5}\NormalTok{) }\OperatorTok{{-}}\NormalTok{ s(t }\OperatorTok{{-}} \FloatTok{0.5}\NormalTok{))}
|
|
% \NormalTok{plt.plot(x, f(x))}
|
|
% \NormalTok{plt.show()}
|
|
% \end{Highlighting}
|
|
% \end{Shaded}
|
|
|
|
\begin{figure}[H]
|
|
\centering
|
|
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{img/Figure_1.png}
|
|
\caption{Figure\_1.png}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
\subsubsection{Deltaimpuls / Diracfunktion}\label{deltaimpuls-diracfunktion}
|
|
|
|
Unendlich kurze Dauer Betrachtet man $\delta(t)$ auf approximierte
|
|
Weise ergibt sich eine Kastenfunktion: $f(t) = 1/2T$ für $t$ in
|
|
$[-T, T]$, sonst 0 mit Fläche 1
|
|
|
|
Zusammenhang Sprung - Delta:
|
|
$\delta(t) = \lim_{T \rightarrow 0} 1/{2T} [s(t + T) - s(t - T)]$
|
|
|
|
$\delta(t)$ kann auch als Ableitung der Sprungfunktion aufgefasst
|
|
werden
|
|
|
|
$\int_{-\infty}^\infty f(x) \delta(x) dx = f(0)$
|
|
|
|
\section{Lineare Systeme}\label{lineare-systeme}
|
|
|
|
\begin{itemize}
|
|
\tightlist
|
|
\item
|
|
Eingangsgröße (auch Ursache) $x(t)$
|
|
\item
|
|
System / Wirkung $W$
|
|
\item
|
|
Ausgangsgröße $y(t) = W\{x(t)\}$
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
\subsection{Wichtige Systemeigenschaften}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item
|
|
\textbf{Stabilität}: Ein System ist stabil wenn für ein beliebiges aber beschränktes Eingangssignal folgt,
|
|
dass das Ausgangssignal auch beschränkt ist \emph{beschränkt:}\\
|
|
$< \infty$
|
|
\item
|
|
\textbf{Linearität}: Ein System ist linear, wenn
|
|
$W\big\{\sum_i^N a_i x_i(t)\big\} = \sum_i^N a_i y_i(t)$ \emph{keine
|
|
Gegenseitige Beeinflussung der einzelnen Eingangsgrößen beim Durchgang
|
|
durch das System}
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
\lecture{3}
|
|
Man kann im Fall von N Eingangsgrößen ein bel. lin System der
|
|
Ausgangsgrößen von N linearen Gliedern mit jeweils einer Ausgangsgröße
|
|
erhalten. Als einziges System mit mehreren Eingangsgrößen ist dann das
|
|
Summenglied zu betrachten.\\
|
|
\begin{center}
|
|
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{img/0c93bdcafbbb39b714fb6472a65a88e5.png}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
\subsection{Zeitinvarianz}\label{zeitinvarianz}
|
|
Ein System ist zietinvarianz, wenn die Wirkungsfunktion nicht von der
|
|
Zeit abhängt. Also wenn $W\{x(t)\} = y(t)$ dann gilt bei
|
|
Zeitinvarianten Systemen $W\{x(t-t_0)\} = y(t-t_0)$.
|
|
$w_0, t_0 \in \R$ beliebig.
|
|
|
|
\subsection{Kausalität}\label{kausalituxe4t}
|
|
|
|
Ein Systme ist kausal, wenn der Verlauf von $y(t)$ nur vom Verlauf von
|
|
$x(t)$ abhängt. Insbesondere gilt $x(t)=0$ für $t < 0$,
|
|
$y(t) = 0$ für $t < 0$
|
|
|
|
Systeme, die linear und Zeitinvariant sind werden auch als
|
|
\textbf{LTI}-Systeme bezecihent \emph{(linear, time invariant)}
|
|
|
|
\subsection{Zieĺsetzung bei der Behandlung linearer
|
|
Systeme}\label{zieux13asetzung-bei-der-behandlung-linearer-systeme}
|
|
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
|
|
\tightlist
|
|
\item
|
|
Berechnung des Ausgangssignals $y(t)$ bei gegebenen Eingangssignal
|
|
$x(t)$ und bei bekanntem Systemverhalten $W\{\}$
|
|
\item
|
|
Berechnung des Systemverhaltens $W\{\}$ bei bekannten
|
|
Systemparametern
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
\emph{in dieser VL Behandlung von 1.}
|
|
|
|
\paragraph{Vorgehen bei 1.}\label{vorgehen-bei-1.}
|
|
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\def\labelenumi{\arabic{enumi}.}
|
|
\tightlist
|
|
\item
|
|
(experimentelle) Bestimmung des Systemverhaltens = Reaktion des
|
|
Systems auf eine Standardtestfunktion
|
|
\item
|
|
Erzeugung von $x(t)$ durch geeignete Kombination zeitlich
|
|
verschobener und unterschiedlich starker Realisierungen der
|
|
Standardtestfunktion
|
|
\item
|
|
Ausgangssignal ist die Überlagerung der unterschiedlichen Funktionen,
|
|
die durch die Wirkung es Systems auf die Standardtestfunktion am
|
|
Eingang entstanden sind
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
\subsubsection{Beispiel: LTI-System}\label{beispiel-lti-system}
|
|
|
|
\begin{figure}[H]
|
|
\centering
|
|
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{img/f36f9e521e19d9ccad6673279cc1b81e.png}
|
|
\caption{f36f9e521e19d9ccad6673279cc1b81e.png}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
\subsection{Systembeschreibung über
|
|
Standard-Signalverläufe}\label{systembeschreibung-uxfcber-standard-signalverluxe4ufe}
|
|
|
|
Darstellung des Systemverhatens über die Sprungfunktion $s(t)$: Beim
|
|
Anlegen von $s(t)$ reagiert das System mit einer Sprungantwort oder
|
|
Übergangsfunktion $a(t) = W\{s(t)\}$. \\
|
|
Zunächst: \textbf{Jede beliebige Eingangsfunktion $x(t)$ lässt sich
|
|
über Sprungfunktionen beliebig genau annähern}\\
|
|
\begin{figure}[H]
|
|
\centering
|
|
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{img/9e419d11871db4a6fd2dc33bf21db0a3.png}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
\noindent Es gilt
|
|
\begin{align}
|
|
x(t) &\approx x(\tau_{n-1}) s(t-\tau_n) + s(t-\tau_n) [x(\tau_n) - x(\tau_n-\tau_{n-1})] + s(t-\tau_{n+1}) [x(\tau_{n+1}) - x(\tau_n-\tau_{n})] + \dots \\
|
|
&= \sum_{n=-\infty}^\infty s(t-\tau_{n+1}) x[(\tau_{n+1}) - x(\tau_n)] + \explUnder[{x(-\infty)}]{weil nur Zuwachs betrachtet wird}
|
|
\end{align}
|
|
Damit: Berechnung des Ausgangssignals
|
|
\begin{equation}
|
|
W\{x(t)\} \approx W\{\sum_{n=-\infty}^\infty s(t-\tau_{n+1}) [x(\tau_{n+1}) - x(\tau_n)]\}
|
|
\end{equation}
|
|
mit der Linearitätseigenschaft:
|
|
\begin{equation}
|
|
y(t) = \sum_{n=-\infty}^\infty W\{s(t-\tau_{n+1})\} [x(\tau_{n+1}) - x(\tau_n)])
|
|
\end{equation}
|
|
Erweiterung des $x(\tau_{n+1}) - x(\tau_n)$ mit $\Delta \tau$:
|
|
\begin{equation}
|
|
y(t) = \lim_{\Delta\tau \rightarrow 0}\sum_{n=-\infty}^\infty W\{s(t-\tau_{n+1})\} [\frac{x(\tau_{n+1}) - x(\tau_n)}{\Delta\tau} \Delta\tau])
|
|
\end{equation}
|
|
Grenzübergang $\tau \rightarrow 0$, dann gilt
|
|
$\tau_n \rightarrow \tau, \Delta\tau \rightarrow \d\tau$ und es
|
|
resultiert
|
|
|
|
\begin{equation}
|
|
y(t) = \int_{-\infty}^{\infty}W\{s(t-\tau)\} \odv{x(\tau)}{\tau}\d\tau
|
|
\end{equation}
|
|
\begin{equation}
|
|
= \int_{-\infty}^{\infty}\,a(t-\tau) x^{'}(\tau)\,d\tau
|
|
\end{equation}
|
|
Die Systemantwort ist daher bei bekanntem Eingangssignal und bei
|
|
bekannter Sprungantwort $a(t)$ vollständig bekannt.\\
|
|
\Rightarrow \textbf{Sprungantwort $a(t)$ charakterisisert ein lineares System vollständig}
|
|
|
|
\lecture{4}
|
|
|
|
\subsection{Charakterisierung von Systemen über
|
|
Impulsantwort}\label{charakterisierung-von-systemen-uxfcber-impulsantwort}
|
|
|
|
Beim Anlegen von $\delta(t)$ reagiert das System der
|
|
\textbf{Impulsantwort} oder \textbf{Gewichtsfunktion}
|
|
\begin{equation}
|
|
h(t) = W\{\delta(t)\}
|
|
\end{equation}
|
|
Darstellung von $x(t)$ über Rechteckimpulse:\\
|
|
\begin{center}
|
|
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{img/2be591dc6a7d867f9539da71598d89c0.png}
|
|
\end{center}
|
|
\begin{equation}
|
|
x(t) \approx \sum_{n=-\infty}^\infty x(\tau_n) [s(t-\tau_n) -s(t-\tau_{n+1})]
|
|
\end{equation}
|
|
Erweiterung um $\Delta\tau$:
|
|
\begin{equation}
|
|
x(t) \approx \sum_{n=-\infty}^\infty x(\tau_n) [\frac{s(t-\tau_n) -s(t-\tau_{n+1})}{\Delta\tau}\Delta\tau]
|
|
\end{equation}
|
|
Mit der Linearitätseigenschaft:
|
|
\begin{equation}
|
|
y(t) \approx \sum_{n=-\infty}^\infty x(\tau_n) W\Big\{\frac{s(t-\tau_n) -s(t-\tau_{n+1})}{\Delta\tau}\Delta\tau\Big\}
|
|
\end{equation}
|
|
Nach Grenzübergang $\Delta\tau\rightarrow 0, \sum \rightarrow \int$,
|
|
wird
|
|
\begin{equation}
|
|
y(t) = \int_{-\infty}^\infty x(\tau_n) W\Big\{\delta(t-\tau)\Big\}d\tau
|
|
\end{equation}
|
|
Schließlich erhält man das \textbf{Faltungsintegral}:
|
|
\begin{equation}
|
|
y(t) = \int_{-\infty}^\infty x(\tau_n) h(t-\tau) d\tau\\
|
|
= x(t) \ast h(t)
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
\begin{center}
|
|
\textbf{\Rightarrow Kenntnis der Impulsantwort des Systems reicht zu
|
|
seiner Beschreibung völlig aus.}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
\noindent
|
|
Eigenschaften: Faltung ist
|
|
\begin{itemize}
|
|
\tightlist
|
|
\item Kommutativ:
|
|
$h(t) \ast g(t) = g(t) \ast h(t)$
|
|
\item Distributiv:
|
|
$h(t) \ast\big (g_1(t) + g_2(t)\big) = h(t) \ast g_1(t) + h(t) \ast g_2(t)$
|
|
\item Assoziativ:
|
|
$h(t) \ast \big(g_1(t) \ast g_2(t)\big) = \big(h(t) \ast g_1(t)\big) \ast g_2(t)$
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
Das Faltungsintegral ist oft schwierig zu berechnen. Im Zeit diskreten
|
|
Fall geht es über die Faltungssumme.
|
|
|
|
\section{Beschreibung linearer Systeme im
|
|
Frequenzbereich}\label{beschreibung-linearer-systeme-im-frequenzbereich}
|
|
Ohne Verlust von Informationen ist auch eine Darstellung im
|
|
Frequenzbereich möglich. Damit ist oft eine einfachere mathematische
|
|
Behandlung sowie die Gewinnung zuästzlicher Einsicht
|
|
möglich.
|
|
|
|
Vorgehen (zunächst mit periodischen Signalen): Ein Signal wird als das
|
|
Ergebnis der Überlagerung von periodischen Elementarsignalen
|
|
unterschiedlicher Amplitude, Frequenz und Phase betrachtet. Es wird so
|
|
dann beschrieben, welche Amplituden und welche Phase welcher Frequenz
|
|
zugewiesen werden muss, um nach Überlagerung dieser Funktionen wieder
|
|
das betrachtete Signal zu erhalten. Die Verteilung der Amplituden über
|
|
die Frequenz bezeichnet man auch als \textbf{Spektrum}.
|
|
|
|
\subsection{Fourieranalyse}\label{fourieranalyse}
|
|
\textbf{Definitionen}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Funktion ist periodisch mit Periode $T$, wenn
|
|
$f(t) = f(t+T)$
|
|
\item Frequenz: $\frac{1}{T}$
|
|
\item Kreisfrequenz: $\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T}$
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
Häufig: $\omega_0:= \frac{2\pi}{T}$
|
|
|
|
Beobachtung: die trig Funktionen
|
|
$\sin(\omega_0 t), \cos(\omega_0 t)$ sind immer auch periodisch in
|
|
$T$. Deshalb naheliegend: Entwicklung einer periodischen Funktion
|
|
$f(t)$ in einer Reihe der Form
|
|
\begin{equation}
|
|
f(t) = \sum_{n=0}^{\infty}[a_n\cos(n\omega_o t) +b_n\sin(n\omega_0 t)]
|
|
\end{equation}
|
|
(Fourier-Reihe mit Fourierkoeffizienzen $a_n, b_n$, Grundschwinung
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|
$\omega_0$ und Oberschwingungen (oder Harmonische)
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|
$n\omega_0, n \gt 1$ Zur Berechnung der Koeffizienten $a_n$ und
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|
$b_n$ erfolgt eine Multiplikation der F-Reihe mit
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|
$\cos(m\omega_0 t)$ bzw $\sin(m\omega_0 t)$ und Integration von
|
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$-\frac{T}{2}$ bis $\frac{T}{2}$.
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\begin{align}
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|
a_n &= \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t)\cos(n\omega_0 t) \d t \\
|
|
b_n &= \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{T/2} f(t)\sin(n\omega_0 t) \d t
|
|
\end{align}
|
|
|
|
Einfaches Beispiel: Periodisches Rechtecksignal\\
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|
\begin{center}
|
|
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{img/f518751e303c817b71baf302f993c8a3.png}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
\begin{align}
|
|
a_n &= \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{0} (-1))\cos(n\omega_0 t) \d t +
|
|
\frac{2}{T} \int_{0}^{T/2} \cos(n\omega_0 t) \d t = 0 \\
|
|
b_n &= \frac{2}{T} \int_{-T/2}^{0} -\sin(n\omega_0 t) \d t + \int_{0}^{T/2} \sin(n\omega_0 t) dt = \frac{2}{n\pi}[1-\cos(n\pi)]
|
|
\end{align}
|
|
also $b_n = \frac{4}{\pi n}$ für $n$ ungerade, $0$ für $n$
|
|
gerade.\\
|
|
\begin{center}
|
|
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{img/8204e0ed75faf3c88307216170425ec4.png}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
\lecture{5}
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|
\emph{einige rechenschritte übersprungen}
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Kompelxe Darstellung der Fourierreihe:
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\begin{align}
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f(t) = \sum_{n=0}^\infty\Big[c_n(\e^{j\, n\,\omega_0 t} + c^*_n (\e^{-j\,n\, \omega_0 t}\Big] \\
|
|
\shortintertext{mit}
|
|
c = \frac{1}{2} (a_n - j b_n) \\
|
|
c^*_n = \frac{1}{2}(a_n + j b_n)
|
|
\end{align}
|
|
Aus
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\begin{align}
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|
c_n &= \frac{1}{T} \int_\frac{-T}{2}^\frac{+T}{2} f(t) \e^{-j n\omega_0 t} \d t \\
|
|
c_n^* &= \frac{1}{T} \int_\frac{-T}{2}^\frac{+T}{2} f(t) \e^{+j n\omega_0 t} \d t
|
|
\end{align}
|
|
folgt $c_n = c^*_{-n}$. Damit kann die Fourierreihe sher kompakt
|
|
geschrieben werden als
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|
|
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\begin{equation}
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|
f(t) = \sum_{n=-\infty}^\infty c_n \e^{j\, n\,\omega_0 t}
|
|
\end{equation}
|
|
$c_n = |c_n|\e^{j\phi_n}$ wobei inter Benutzung von
|
|
$c_n = 1/2 (a_n-j b_n)$: $|c_n| = \frac{1}{2}\sqrt{a_n^2+b_n^2}$
|
|
|
|
Folgerungen: Komplexe $c_n$ enthalten die gleiche Information wie die
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|
$a_n$ und $b_n$ zusammen. Statt jeweils eines Spektrums für die
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|
$\sin$ und $\cos$ Anteile erhält man ein \textbf{Komplexes
|
|
Spektrum}, das sich in ein \textbf{Betrags} und \textbf{Phasenspektrum}
|
|
zerlegen lässt. Außerdem sehr wichtig: das Spektrum ist nun auch für
|
|
negative $n$ (d.h. ``negative Frequenzen'') erklärt.
|
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|
\subsection{Fouriertransformation}\label{fouriertransformation}
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Zweck: Analyse nichtperiodischer kontinuierlicher Signale, d.h. von
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Signalen mit der Periodendauer $T\rightarrow \infty$ -\textgreater{}
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|
$\omega_0 \rightarrow 0$ Eine Unterscheidung in diskrete
|
|
Spektrallinien, die jeweils eine diskrete Elementarfunktion
|
|
repräsentieren, ist nicht mehr möglich. Stattdessen Definition einer
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|
Amplitudendichte $F(\omega)$. Die Dichte ist kontinuierlich definiert
|
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für $-\infty < \omega < \infty$. Sie bezeichnet ``Amplitude pro
|
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Frequenz'': $F(\omega) = \frac{c_n}{\Delta\omega}$ Also: das Signal
|
|
wird jetzt aufgefasst als zusammengesetzt aus nicht abzählbar unendlich
|
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vielen Elementarfunktionen. Jetzt Ausführung des Grenzübergangs
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$T\rightarrow\infty$ d.h. der Abstand zwischen Spektrallinien
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$\Delta\omega \rightarrow d\omega$, $c_n \rightarrow c$ und die
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|
Amplitudendichte
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|
$\frac{c_n}{\Delta\omega} = F(\omega) \rightarrow c=F(\omega) \,d\omega$
|
|
Nach Ausführung dieses Grenzübergangs wird die Komplexe Fourier-Reihe
|
|
zum Fourier-Integral: \emph{wichtig:} Amplitudendichtespektrum nach
|
|
Zeitfunktion:
|
|
\begin{equation}
|
|
f(t) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}F(\omega)\e^{j\omega t} d\omega
|
|
\end{equation}
|
|
Zeitsignalunktion nach Amplitudendichtespektrum:
|
|
\begin{equation}
|
|
F(\omega) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\e^{-j\omega t} d t
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
\def\rmapsto{\reflectbox{\multimap}}
|
|
Schreibweisen:
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item Fourier-Trafo: $\mathcal{F}\{f(t)\}=F(\omega)$
|
|
\item Rück-Trafo: $\mathcal{F}^{-1}\{F(\omega)\}=f(t)$
|
|
\item $f(t) \rmapsto F(\omega)$ (\textit{$\rmapsto$ bedeutet "ist korrespondierende"})
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\def\labelenumi{\alph{enumi}.}
|
|
\tightlist
|
|
\item
|
|
$\delta$ Impuls: $\mathcal{F}\{\delta(t)\} = 1$ (enthält alle
|
|
Frequenzen)
|
|
\item Rechteckimpuls:
|
|
$\mathcal{F} = \frac{2}{\omega}\sin(\omega\frac{T}{2})$\\
|
|
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{img/d1d77a60e5748fbb6075be9e7ce3c379.png}
|
|
\item
|
|
Komplexe Zeitfunktion $f(t) = \Big\{ \e^{i\omega_0 t}$ für
|
|
$-T \lt t \lt T$
|
|
$\mathcal{F}(\omega) = ... = 2\frac{\sin[(\omega_0 - \omega)T]}{\omega_0 - \omega}$
|
|
rein reelles Spektrum\\
|
|
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{img/b461995caf296304f338fa58179292e0.png}
|
|
\end{enumerate}
|
|
Sonderfall: undendlich lang andauernde Schwingung, d.h. $T\to\infty$
|
|
Grenzübergang:
|
|
\begin{align}
|
|
\lim_{T\to\infty} F(\omega)= \lim_{T\to\infty}\Big[ 2\pi\frac{sin[(\omega_0-\omega)T]}{\pi(\omega_0-\omega)}\Big] &= 2\pi\delta(\omega_0 - \omega) = 2\pi\delta(\omega-\omega_0) &\\
|
|
\intertext{d.h. es ist:}
|
|
\mathcal{F}\{\e^{\pm j \omega_0 t}\} &= 2\pi \delta(\omega \mp \omega_0)
|
|
\end{align}
|
|
Damit Analyse für verschiedene andere Funktionen möglich:
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item
|
|
$\omega_0 = 0 \Rightarrow \mathcal{F}\{1\} = 2 \pi\delta(\omega)$
|
|
\item
|
|
$\mathcal{F}\{\cos(\omega_0 t)\} = \pi\Big(\delta(\omega - \omega_0) + \delta(\omega+\omega_0)\Big)$\\
|
|
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{img/87c76eb06054283058dc7446bfa6b016.png}
|
|
\item
|
|
$\mathcal{F}\{\sin(\omega_0 t)\} = j\pi\Big(\delta(\omega + \omega_0) - \delta(\omega-\omega_0)\Big)$
|
|
|
|
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
\lecture{6}
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|
\subsubsection{Eigenschaften der Fouriertransformation}
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item
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|
Linearität:
|
|
$\mathcal{F}\left\{a f_1(t) + b f_2(t)\right\}= a F_1(\omega) + b F_2(\omega)$
|
|
\item
|
|
Zeitliche Spiegelung:
|
|
$\mathcal{F}\left\{f(-t)\right\}= F(-\omega)$
|
|
\item
|
|
Vertauschungssatz:
|
|
$\mathcal{F}\left\{F(t)\right\}= 2\pi f(\omega)$
|
|
\item
|
|
Ähnlichkeitssatz:
|
|
$\mathcal{F}\left\{f(a t)\right\}= \frac{1}{|a|} F(\frac{\omega}{a})$
|
|
\item
|
|
Zeitverschiebung:
|
|
$\mathcal{F}\left\{f(t-t_0)\right\}= F(\omega) \, \e^{-j\omega t_0}$
|
|
\item
|
|
Frequenzverschiebung:
|
|
$\mathcal{F}\left\{f(t)\, \e^{\pm j\omega_0 t}\right\}= F(\omega \mp \omega_0)$ \\
|
|
Anwendung: AM-Radio: Niederfrequenzsignal auf $\cos$ Träger: \\
|
|
$\mathcal{F}\left\{f_\text{NF}(t)\frac{1}{2}\left(\e^{j\omega_0 t}+\e^{-j\omega_0 t}\right)\right\}= \frac{1}{2}\left[F_\text{NF}(\omega - \omega_0) + F_\text{NF}(\omega+\omega_0)\right]$ \\
|
|
Damit kann das ursprüngliche Signal über Kanäle übertragen werden, die
|
|
eine Übertragung im ``Basisband'' nicht zulassen, also z.B. über das
|
|
Funkstrecken
|
|
\item
|
|
\textbf{Faltungssatz}:
|
|
\begin{align}
|
|
\mathcal{F}\left\{f_1(t) * f_2(t)\right\} &= F_1(\omega) F_2(\omega) \\
|
|
\mathcal{F}\left\{f_1(t) f_2(t)\right\} &= \frac{1}{2\pi} F_1(\omega) * F_2(\omega)
|
|
\end{align}
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
\subsection{Systemfunktion}\label{systemfunktion}
|
|
|
|
Sei $x(t)$ ein Eingangssignal, $y(t)$ ein Ausgangssignal und
|
|
$h(t)$ die Impulsantwort eines Systems, dann gilt:
|
|
\begin{align}
|
|
y(t) &= h(t) * x(t) \\
|
|
Y(\omega) &= h(\omega) \, X(\omega)
|
|
\end{align}
|
|
$H(\omega)$ wird als \textbf{Systemfunktion} oder
|
|
\textbf{Übertragungsfunktion} bezeichnet. Beispiele für
|
|
Systemfunktionen:
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item
|
|
Tiefpass, löscht hohe Frequenzanteile\\
|
|
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{img/d2139093bf75907709b5b4931f9e79f3.png}
|
|
|
|
\item
|
|
Hochpass, löscht tiefe Frequenzanteile:\\
|
|
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{img/3e7159914163c2bd518b3d958356e1b3.png}
|
|
\item
|
|
Bandpass:\\
|
|
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{img/479f34ce10c157575e467ab190f00e3b.png}
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
Bei Betrachtung dieser Systemfunktionen zeigen sich die Vorteile der
|
|
Darstellung im Frequenzbereich: Einfache mathematische Behandlung,
|
|
anschauliche Deutung. Außerdem: die wesentlichen Korrespondenzen sind
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|
aufgelistet
|
|
|
|
\subsubsection{Beispiel: Tiefpass}\label{beispiel-tiefpass}
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|
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|
$H(\omega) = r_\Omega(\omega)$ 1 für $-\Omega\le\omega\le\Omega$, 0
|
|
sonst
|
|
$y(t) = \mathcal{F}^{-1}\{1\cdot H(\omega)\} = 1/2\pi \int_{-\Omega}^\Omega 1\cdot \e^{+j\omega t}d\omega = \frac{1}{\pi}\frac{\sin{\Omega t}}{t}$
|
|
\\
|
|
\begin{center}
|
|
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{img/a7da8e0493a32dad6d808155e40296d2.png}\\
|
|
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{img/21c9dfc6806c3164051d39b049436e06.png}\\
|
|
\end{center}
|
|
Der ideale Tiefpass ist ein nicht-kausales System. Die Reaktion auf ein Ereignis
|
|
zum Zeitpunkt t=0 erfolgt bereits vorher. Der Ideale Tiefpass ist also
|
|
nicht realisierbar.
|
|
|
|
\subsection{Fourierspektren von
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|
Singularitätsfunktionen}\label{fourierspektren-von-singularituxe4tsfunktionen}
|
|
|
|
\begin{itemize}
|
|
\tightlist
|
|
\item
|
|
$\sgn(x)$: $F(\omega) = \frac{2}{j \omega}$
|
|
\item
|
|
$s(t)$: $F(\omega) = \pi\delta(\omega) + \frac{1}{j \omega}$
|
|
\item
|
|
Eingeschalteter Sinus $Im\left(s(t) \, \e^{j\omega_0 t}\right)$:
|
|
$F(\omega) = j \frac{\pi}{2}[\delta(\omega+\omega_0) - \delta(\omega-\omega_0) + \frac{\omega_0}{\omega_0^2 - \omega^2}]$
|
|
\item
|
|
Kammfunktion (Folge von Delta-Impulsen im Abstand $T_A$):\\
|
|
\begin{align}
|
|
f(t) &= \sum_{n=-\infty}^\infty \delta(t-n T_A) \\
|
|
F(\omega) &= \frac{2\pi}{T_A} \sum_{n=-\infty}^\infty \delta(\omega-n \frac{2\pi}{T_A})
|
|
\end{align}
|
|
wieder Kammfunktion mit Höhe und Periode $\omega_A = 2\pi/T_A$
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
\lecture{7}
|
|
\section{Abtastung und Abtasttheorem}
|
|
Betrachtet werde die Abtastung eines kontinuierlichen beliebigen Zeitsignals $f(t)$.
|
|
Aus diesem Signal werden äquidistantem Zeitpunkten $n\cdot T_A$ Amplitudenproben entnommen.
|
|
|
|
Annahme: der \textbf{ideale} Abtaste liefert eine Folge unendlich schmaler und unendlich hoher $\delta$-Impulse, deren Fläche proportional zum Wert
|
|
der Funktion $f(t)$ sein. Nur in diesem Fall haben wir eine verfälschungsfreie Abtastung.
|
|
|
|
\begin{figure}[H]
|
|
\centering
|
|
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{img/vl07-id-abtast.png}
|
|
% \caption{img/vl07-id-abtast.png}
|
|
% \label{fig:img-vl07-id-abtast-png}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
Frage: Kann das Ursprungssignal $f(t)$ aus dem abgetasteten Signal $f_A(t)$ wiedergewonnen werden?
|
|
Welcher Wert für $T_A$ muss gewählt werden, mit welcher Frequenz? \\
|
|
Für die Zeitfunktion $f_A(t)$ gilt nach idealer Abtastung:
|
|
\begin{align}
|
|
f_A(t) &= \dots + f(-T_A) \delta(t + T_A) + f(0) \delta(t) + f(T_A) \delta(t - T_A) + \dots \\
|
|
f_A(t) &= f(t) [\dots + \delta(t + T_A) + \delta(t) + \delta(t - T_A) + \dots ] \\
|
|
&= f(t) \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t - n T_A)
|
|
\end{align}
|
|
Berechnung des Spektrums der abgetasteten Funktion:
|
|
\begin{align}
|
|
F_A(\omega) &= \Fourier{f_A(t)} = \Fourier{f(t) \cdot \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t-n T_A)} \\
|
|
&= \frac{1}{2\pi} \Fourier{f(t)} * \Fourier{\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t-n T_A)}
|
|
\intertext{mit $\Fourier{\sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(t-n T_A)} = \frac{2\pi}{T_A} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(\omega-n \frac{2\pi}{T_A})$ folgt}
|
|
F_A(\omega) &= F(\omega) * \frac{1}{T_A} \sum_{n=-\infty}^{\infty} \delta(\omega - n \frac{2\pi}{T_A}) = \frac{1}{T_A} \sum_{n=-\infty}^{\infty} F(\omega -n\omega_A)
|
|
\end{align}
|
|
\Rightarrow Durch die Abtastung wird das Spektrum von $f(t)$ unendlich oft um die Frequenzen in $n\,\omega_A$ mit reproduziert.
|
|
|
|
\subsection{Bandbegrenzte Signale}
|
|
Sei $F(\omega)$ nun \textbf{bandbegrenzt}, d.h. $F(\omega) \equiv 0$ für $\omega > \omega_g$ bzw. $\omega < -\omega_g$
|
|
\begin{figure}[H]
|
|
\centering
|
|
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{img/vl07-bandbegrenzt.png}
|
|
% \caption{img/vl07-bandbegrenzt.png}
|
|
% \label{fig:img-vl07-bandbegrenzt-png}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
\begin{enumerate}
|
|
\item
|
|
Das Originalspektrum um $\omega = 0$ repräsentiert das Originalsignal im Frequenzbereich, also die Zeitfunktion $f(t)$. Nach Entnahme dieses Teils des Spektrums mit Hilfe eines Tiefpasses ist die Rekonstruktion des Originalsignals erfolgt.
|
|
\item
|
|
Bedingung dafür, dass die Teilspektren nicht ``ineinander laufen'' ist
|
|
\begin{equation}
|
|
\omega_g \le \omega_A - \omega_g \Rightarrow \omega_A \ge 2\omega_g
|
|
\end{equation}
|
|
\Rightarrow Wenn das Spektrum der Originalfunktion bandbegrenzt ist und die Abtastfrequenz hoch genug, dann kann das Originalsignal exakt reproduziert werden\\
|
|
\Rightarrow Die Abtastfrequenz muss mindestens doppelt so hoch sein wie die die höchste (nach Bandbegrenzung) im Originalsignal vorhandene Frequenz\\
|
|
\Rightarrow Außerdem ist wichtig: das Spektrum des abgetasteten Signals ist mit $\omega_A$ periodisch: $F_A(\omega) = F_A(\omega + \omega_A)$
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
\paragraph{Beispiele}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item
|
|
Telefon: $\omega_g = \SI{3.4}{\kilo\Hz}$ \quad\Rightarrow\quad $\omega_A = \SI{8}{\kilo\Hz}$
|
|
\item
|
|
CD-Spieler: $\omega_g = \SI{20}{\kilo\Hz}$ \quad\Rightarrow\quad $\omega_A = \SI{44.1}{\kilo\Hz}$
|
|
\end{itemize}
|
|
Wenn $\omega_A \gg 2\omega_g$, dann werden an die ``Flankensteilheit'' des Tiefpasses geringere Anforderungen gestellt. \\
|
|
Außerdem: wenn die Abtastfrequenz zu niedrig ist, dann überlappen sich die Einzelspektren. Man nennt diesen Effekt \textbf{Aliasing}, weil andere als das Originalsignal vorgetäuscht werden.
|
|
|
|
\paragraph{Digitale Frequenz}
|
|
Einführung des Begriffs der \textbf{digitalen Frequenz}:
|
|
\begin{figure}[H]
|
|
\centering
|
|
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{img/vl07-digitale_frequenz.png}
|
|
\end{figure}
|
|
\noindent Ersetzung von $\omega$ durch ein auf $\omega_A$ bezogenes $\omega_d$ mit $\omega_d = \omega \cdot T_A$
|
|
\begin{figure}[H]
|
|
\centering
|
|
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{img/vl07-digitale_frequenz2.png}
|
|
\end{figure}
|
|
$\omega_d$ ist im Gegensatz zu $\omega$ ohne Einheit. Im \textit{digitalen Bereich} wird der Index ``d'' typischerweise weggelassen und man hat:
|
|
\begin{equation}
|
|
-\pi \le \omega \le \pi
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
\section{Zeitdiskrete Signale}
|
|
Ein zeitdiskretes Signal ist eine Folge von Zahlen, deren einzelne Elemente mithilfe einer diskreten Variable geordnet sind.
|
|
Notation:
|
|
\begin{align}
|
|
x&=\{x(t_n)\} \\
|
|
&= \{\dots, x(t_{-2}),\,x(t_{-1}),\,x(t_0),\,x(t_1),\,x(t_2), \dots\}
|
|
\end{align}
|
|
|
|
Normalerweise Abtastung zu äquidistanten Zeitpunkten, also $t_n = n T_A$. Deshalb die kürzere Schreibweisen:
|
|
\begin{equation}
|
|
x = \{x(n)\} = \{\dots, x({-2}),\,x({-1}),\,x(0),\,x(1),\,x(2), \dots\}
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
\textbf{Definitionen}:
|
|
\begin{enumerate}[a)]
|
|
\item
|
|
kausale Zeitreihe: $x \equiv 0$ für $n < 0$
|
|
\item
|
|
akausale Zeitreihe: $x \equiv 0$ für $n < 0$
|
|
\item
|
|
zweiseitige Zeitreihe: Ist immer über die Kombination von kausaler und akausaler Zeitreihe möglich
|
|
\item
|
|
deterministische Signale: $x(n)$ ist spezifiziert bevor das Signal erzeugt wird.\\
|
|
Oft sind diese Signale mit Hilfe analytischer Funktionen beschreibbar ($\sin(\omega t),\,s(t)\,\,\dots$)
|
|
\item
|
|
nichtdeterministische Signale: das Signal ist erst bekannt, nachdem das Zufallsexperiment ausgeführt wurde. Analyse dann mit Hilfe von Methoden der Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
\lecture{8}
|
|
|
|
\subsection{Wichtige Signale für die Analyse zeitdiskreter, linearer Systeme}
|
|
\begin{enumerate}[a)]
|
|
\item
|
|
Einheitsimpuls (entspricht dem $\delta$-Impuls im kontinuierlichen Fall):\\
|
|
\begin{align}
|
|
\delta(n) = \left\{ \begin{array}{cl} 1 & \text{für $n=0$} \\ 0 & \text{sonst} \end{array} \right
|
|
\end{align}
|
|
\item
|
|
Einheitsschrittfunktion (entspricht $s(t)$ im kontinuierlichen Fall)\\
|
|
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
|
|
\begin{center}
|
|
\includegraphics[width=\textwidth]{img/vl08-schrittfunktion.png}
|
|
\end{center}
|
|
\end{minipage}
|
|
\hfill
|
|
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
|
|
\begin{align}
|
|
u(n) &= \left\{ \begin{array}{cl} 1 & \text{für $n\ge0$} \\ 0 & \text{sonst} \end{array} \right \\
|
|
\intertext{Es gilt:}
|
|
\delta(n) &= u(n) - u(n-1) \\
|
|
u(n) &= \sum_{m=0}^{\infty} \delta(n-m)
|
|
\end{align}
|
|
\end{minipage}
|
|
\item
|
|
Exponentialfunktion:\\
|
|
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
|
|
\begin{figure}[H]
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|
\centering
|
|
\includegraphics[width=\textwidth]{img/vl08-exponential.png}
|
|
\caption*{Einseitige Exponentialfunktion für $a<1$}
|
|
\end{figure}
|
|
\end{minipage}
|
|
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
|
|
\begin{align}
|
|
x(n) = b \cdot (a)^n
|
|
\end{align}
|
|
mit $a,b \in \mathbb{C}$, außerdem ``zweiseitig'', d.h. definiert für $n \lesseqgtr 0$\\
|
|
\end{minipage}
|
|
|
|
\item
|
|
Kreisfunktion:\\
|
|
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
|
|
\begin{figure}[H]
|
|
\centering
|
|
\includegraphics[width=\textwidth]{img/vl08-kreis.png}
|
|
% \caption*{Einseitige Exponentialfunktion für $a<1$}
|
|
\end{figure}
|
|
\end{minipage}
|
|
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
|
|
\begin{align}
|
|
x(n) &= b\cdot \e^{j(\omega_n + \phi)} \\&= b\,\big\{\cos(\omega_n + \phi) + j \sin(\omega_n + \phi)\big\}
|
|
\end{align}
|
|
mit $b\in \R$ Amplitude, $\omega \in \R$ digitale Kreisfrequenz, $\phi \in \R$ Nullphasenwinkel
|
|
\end{minipage}
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
\subsection{Operationen auf Zeitreihen}
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|
\subsubsection{Elementare Operationen}
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\begin{itemize}
|
|
\item
|
|
Multiplikation: Multiplikation der einzelnen Elemente
|
|
\begin{align}
|
|
a\left\{x(n)\right\} &= \left\{a\,x(n)\right\} \\
|
|
\left\{x(n)\right\}\left\{y(n)\right\} &= \left\{ x(n)\,y(n)\right\}
|
|
\end{align}
|
|
|
|
\item
|
|
Addition: Zeitreihen werden elementweise addiert
|
|
\begin{align}
|
|
\left\{x(n)\right\}+\left\{y(n)\right\} = \left\{x(n) + y(n)\right\}
|
|
\end{align}
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
\subsubsection{Allgemeine Operationen}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item
|
|
\textbf{Operator} transformiert eine Eingangszeitreihe $x(n)$ in eine Ausgangszeitreihe $y(n)$
|
|
\item
|
|
\textbf{LTI-Operatoren}
|
|
\end{itemize}
|
|
Im folgenden ausschließlich Betrachtung von lineare, zeitinvarianten (LTI) Operatoren.
|
|
|
|
Bei einem LTI-Operator ist der Zusammenhang zwischen Eingangszeitreihe $x(n)$ und Ausgangszeitreihe $y(n)$ in der Form eine \textbf{linearen Faltung} darstellbar:
|
|
\begin{align}
|
|
y(n) &= \sum_{k=-\infty}^{\infty} h(k) \cdot x(n-k) \\
|
|
&= \sum_{m=-\infty}^{\infty} h(n-m) \cdot x(m) \\
|
|
&= h(n) * x(n)
|
|
\end{align}
|
|
Die Reihe $h(n)$ ($\hateq$ Impulsantwort) bestimmt den Operator vollständig.\\
|
|
\Rightarrow Setze $x(n) = \delta(n)$, dann ist $y(n) = h(n)$\\
|
|
Offensichtlich: $\delta(n)$ lässt sich erzeugen durch $u(n) - u(n-1)$. Entsprechend ist auch im Zeit diskreten Fall die Impulsantwort die Differenz der Sprungantworten.
|
|
|
|
\subsubsection{Kausale Operatoren}
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|
Ein \textbf{Kausaler} LTI-Operator ($h(n) \equiv 0$ für $n<0$) lässt sich durch die \textbf{einseitige Faltungssumme}
|
|
\begin{align}
|
|
y(n) &= \sum_{k=0}^{\infty} h(k) \cdot x(n-k) \\
|
|
&= \sum_{k=-\infty}^{n} h(n-k) x(k)
|
|
\end{align}
|
|
und ein nicht-Kausaler LTI-Operator damit
|
|
\begin{align}
|
|
y(n) &= \sum_{k=-\infty}^{-1} h(k) \cdot x(n-k) \\
|
|
&= \sum_{k=n+1}^{\infty} h(n-k) x(k)
|
|
\end{align}
|
|
ausdrücken.
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|
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|
\paragraph{Beispiel für einen Kausalen Operator}
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\begin{minipage}{0.4\textwidth}
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|
\begin{figure}[H]
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\centering
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|
\includegraphics[width=\textwidth]{img/vl08-kausal1.png}
|
|
\end{figure}
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|
\end{minipage}
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|
\hfill
|
|
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
|
|
$h(n) = \{1,\,2,\,2,\,0,\,0,\,\dots\}$
|
|
\end{minipage}\\
|
|
angewendet auf eine Zeitreihe wie folgt:\\
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|
\begin{minipage}{0.4\textwidth}
|
|
\begin{figure}[H]
|
|
\centering
|
|
\includegraphics[width=\textwidth]{img/vl08-kausal2.png}
|
|
\end{figure}
|
|
\end{minipage}
|
|
\hfill
|
|
\begin{minipage}{0.5\textwidth}
|
|
$x(n) = \{1,\,1,\,0,\,0,\,0,\,\dots\}$
|
|
\end{minipage}\\
|
|
|
|
\begin{figure}[H]
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|
\centering
|
|
\includegraphics[width=\textwidth]{img/vl08-kausal3.png}
|
|
\caption*{$x(t)$ (grün) gefaltet mit $h(t)$ (rot)}
|
|
% \label{fig:img-vl08-kausal3-png}
|
|
\end{figure}
|
|
\begin{figure}[H]
|
|
\centering
|
|
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{img/vl08-kausal4.png}
|
|
% \caption*{$x(t)$ (grün) gefaltet mit $h(t)$ (rot)}
|
|
% \label{fig:img-vl08-kausal3-png}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
Realisierung in Hardware:
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|
\begin{figure}[H]
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|
\centering
|
|
\includegraphics[width=0.6\textwidth]{img/vl08-hardware.png}
|
|
\caption*{
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|
Für jeden Zeitschritt wird ein neuer Wert $x(n)$ ins Register geschoben.
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|
Die Werte werden mit denen des Festwertregisters $h$ multipliziert und aufsummiert.
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|
}
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
\paragraph{Weitere Eigenschaften von LTI-Operatoren}
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|
\begin{enumerate}[a)]
|
|
\item
|
|
Linearität
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|
\begin{equation}
|
|
L\left[a_1 \left\{x_1(n)\right\} + a_2\left\{x_2(n)\right\}\right] =
|
|
a_1 L\left[ \left\{ x_1(n) \right\} \right] + a_2 L \left[ \left\{ x_2(n) \right\} \right ]
|
|
\end{equation}
|
|
mit $a_1, a_2 \in \R$, $n\in\mathbb{Z}$
|
|
\item
|
|
$\left\{ g(n-m) \right\} = L [\left\{ x(n-m) \right\}$, d.h. System reagiert zu allen zeitpunkten gleich, $m$ beliebig
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
\subsubsection{Beschränktheit von Zeitreihen und ein Stabilitätskriterium}
|
|
Eine Zeitreihe wird \textbf{beschränkt} genannt, wenn für alle $n,\,M\in\R$ gilt:
|
|
\begin{equation}
|
|
\abs*{x(n)} < M
|
|
\end{equation}
|
|
Also: der Betrag einer Zeitreihe bleibt immer kleiner als eine bestimmte obere Schranke $M$.
|
|
|
|
\noindent\underline{Frage}: Wie muss die Impulsantwort $h(n)$ beschaffen sein, damit das System stabil ist,
|
|
d.h. auf ein beschränktes Eingangssignal mit einem beschränkten Ausgangssignal antwortet?
|
|
\\
|
|
\underline{Antwort}: Für das Ausgangssignal gilt:
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|
\begin{align}
|
|
\abs*{y(t)} &= \abs*{\sum_{k=-\infty}^{\infty} h(k) x(n-k)} \\
|
|
&= \abs*{\dots + h(k-1)x(n-k+1) + h(k) x(n-k) + h(k+1) x(h-k-1) +\dots}
|
|
\end{align}
|
|
mit $\abs*{a+b} \le \abs*{a} + \abs*{b}$ hat man
|
|
\begin{align}
|
|
\abs*{y(t)} &\le \sum_{k=-\infty}^{\infty} \abs*{h(k) x(n-l)} \\
|
|
&= \sum_{k=-\infty}^{\infty} \abs*{h(k)}\,\abs*{x(n-k)} \\
|
|
&\le M \sum \abs*{h(k)}
|
|
\end{align}
|
|
Also ist eine Bedingung für Stabilität:
|
|
\begin{align}
|
|
\boxed{
|
|
\sum_{k=-\infty}^{\infty} \abs*{h(k)} < \infty
|
|
}
|
|
\end{align}
|
|
|
|
|
|
\lecture{9}
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|
\subsection{Rekursive und nicht-rekursive Systeme}
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|
Definitionen:
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\begin{itemize}
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|
\item
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|
Ein lineares, nicht-rekursives System ist beschreibbar durch eine \textbf{Faltungssumme} mit einer endlichen Anzahl von Elementen (\textit{finite impulse response system})
|
|
\item
|
|
Ein universelles, rekusrives System hat in der Regel eine unendlich lang andauernde Impulsantwort, die durch sogenannte ``Rückkopplungszweige'' erzeugt wird (\textit{infinite impulse response system})
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
\subsubsection{Nicht rekursives Systeme:}
|
|
\begin{equation}
|
|
y(n) = \sum_{k=s}^{q} h(k) x(n-k)
|
|
\end{equation}
|
|
Kausales nicht rekursives System:
|
|
\begin{equation}
|
|
y(n) = h(0) x(n) + h(1) x(n-1) + \dots + h(q) x(n-q)
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
\begin{figure}[H]
|
|
\centering
|
|
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{img/vl09-faltungssumme.png}
|
|
\caption{Transversalfilter}
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|
\end{figure}
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|
Dieser Filter wird auch als Transversalfilter, FIR (Finite-Impulse-Response) filter oder MA (Moving Average) Operator bezeichnet.
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|
|
|
\subsubsection{Rekursives Systeme}
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|
Der Zusammenhang zwischen $x(n)$ und $y(n)$ bei einem linearen, rekursiven System ist darstellbar:
|
|
\begin{equation}
|
|
\sum_{k=1}^{p_2} a_k y(n-k) = \sum_{k=q_1}^{q_2} b_k x(n-k)
|
|
\end{equation}
|
|
Im Kausalen Fall ($y(n) \equiv 0$ für $n<0$, wenn $x(n) \equiv 0$ für $n>0$) gilt:
|
|
\begin{equation}
|
|
\sum_{k=0}^{p} a_k y(n-k) = \sum_{k=0}^{q} b_k x(n-k)
|
|
\end{equation}
|
|
bzw:
|
|
\begin{equation}
|
|
\boxed{
|
|
y(n) = \sum_{k=0}^{q} b_k x(n-k) - \sum_{k=1}^{p} a_k y(n-k)
|
|
}
|
|
\end{equation}
|
|
Hier wird das ``aktuelle'' Element $y(n)$ aus dem gegenwärtigen und den letzten $q$ Eingangswerten gebildet (nicht rekursiver Anteil) sowie den letzten $p$ Ausgangswerten (rekusriver Anteil).
|
|
\begin{figure}[h]
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|
\centering
|
|
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{img/vl09-rekursives_system.png}
|
|
\caption{Rekursives System}
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|
% \label{fig:img-vl09-rekursives_system-png}
|
|
\end{figure}
|
|
$y(n)$ ist berechenbar, wenn zumindest $y(n-1)$ berechnet wurde.
|
|
Im weiteren Beschränkung auf diese Klasse von Systemen.
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|
|
|
\paragraph{Wesentliche Unterschiede}
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\begin{itemize}
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|
\item Rekusrive Operatoren sind zumeist mit geringerer Anzahl von Elementen realisiserbar als nicht-rekursive mit gleicher/ähnlicher Übertragugnsfunktion
|
|
\item Nicht rekursiver Operator ist immer stabil
|
|
\end{itemize}
|
|
\Rightarrow System von nicht-rekursiven Operatoren einfacher, keine Stabilitätsbetrachtung erfolrderlich
|
|
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|
\subsection{Die z-Transformation}
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|
Zunächst Betrachtung der Fourer-Transformation
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|
\begin{equation}
|
|
F(\omega) = \int_{-\infty}^\infty f(t) \e^{-j\omega t} \d t
|
|
\end{equation}
|
|
Frage: Was ändert sich hier, wenn $f(t)$ ein zeitdiskretes (abgetastetes) Signal ist, das nur zu den Zeitpunkten $t=nT$ definiert ist?
|
|
\\DTFT (\neq DFT!) \textit{discrete-time Fourier transform}:
|
|
\begin{equation}
|
|
\boxed{
|
|
X(\e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n) \e^{-jn\omega}
|
|
}
|
|
\end{equation}
|
|
wobei $w$ die digitale Frequenz $-\pi \le \omega \le +\pi$ darstellt, mit $\omega \in \R$.
|
|
\\
|
|
IDTFT (inverse):
|
|
\begin{equation}
|
|
\boxed{
|
|
x(n) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi}X(\e^{j\omega}) \e^{-jn\omega} \d \omega
|
|
}
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item
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|
Integration wird Summation, da nur Beiträge zu den Abtastzeitpunkten (dazwischen nicht definiert)
|
|
\item
|
|
Statt kontinuierlicher Frequenz $\omega$ nun digitale Frequenz, da Spektrum periodisch, d-h- für $\omega \lessgtr \pi$ Wiederholung
|
|
\\Um die Periodizität anzudeuten wird im Argument von $X$ $\omega$ durch $\e^{j\omega}$ ersetzt, $\e^{j\omega}$ ist ja mit $2\pi$ periodisch
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
\textbf{Problem}: Für viele nichtperiodische Funktionen konvergiert das Integral $\int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} \d t$ nicht
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|
\\ Deshalb (im kausalen Fall) Dämpfung der Zeitfunktion mit $\e^{-\sigma t}$. Dann ist in Abhängigkeit von $f(t)$ für bestimmte Werte von $\sigma \ge 0$ Konvergenz herstellbar.
|
|
D.h. neues Integral:
|
|
\begin{equation}
|
|
F_\sigma(\omega) = \int_0^\infty f(t) \e^-{j\omega t} \d t
|
|
\end{equation}
|
|
Nun Einführung der Komplexen Variablen $s=\sigma + j \omega$.
|
|
$F_\sigma(\omega)$ stellt eine ganze Schar von Spektraldichten dar, von denen einige nicht existieren können.
|
|
Betrachtung in der $s$-Ebene:
|
|
\begin{figure}[H]
|
|
\centering
|
|
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{img/vl09-s-ebene.png}
|
|
\caption{$s$-Ebene}
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|
\end{figure}
|
|
|
|
Schreibt man
|
|
\begin{equation}
|
|
F(s) = \sigma_0^\infty f(t) \e^{(-\sigma + j\omega)t} \d t
|
|
\end{equation}
|
|
dann stellt $F(s)$ bei festem $\sigma$ die Spketraldichte der mit $\e^{-\sigma t}$ gedämpften Zeitfunktion $f(t)$ dar. Man bezeichnet $F(s)$ als einseitige \textbf{Laplace-Transformation} der Zeitfunktion $f(t)$.
|
|
\\
|
|
Die L-Transformation verfügt im wesenetlichen über die gleichen Eigenschaften wie die F-Transformation, deckt aber die meisten in der Praxis vorkommenden Fälle nichtperiodischer Funktionen ab.
|
|
|
|
Schreibt man die L-Transformierte
|
|
\begin{equation}
|
|
F(s) = \int_{0/-\infty}^{+\infty} f(t) \e^{-s t}
|
|
\end{equation}
|
|
(wobei die die Integrationsgrenze $0$ die einseitige und $-\infty$ die zweiseitige bezeichnet) für zeitdiskrete Signale auf, so hat man (im zweiseitigen Fall):
|
|
\begin{equation}
|
|
F(s) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) \e^{-s n T}
|
|
\end{equation}
|
|
und mit der Abkürzung $z=\e^{sT}$ wird daraus die \textbf{z-Transformation}:
|
|
\def\Z{\mathcal{Z}}
|
|
\begin{equation}
|
|
\boxed{
|
|
X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n) z^{-n} = \Z\left\{x(n)\right\}
|
|
}
|
|
\end{equation}
|
|
|
|
\lecture{10}
|
|
\begin{figure}[H]
|
|
\centering
|
|
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{img/vl10-z.png}
|
|
\end{figure}
|
|
Die z-Transformation bildet eine diskrete Zahlenfolge in den z-Bereich ab.
|
|
Die Vorteile der Laplace-Transformation im kontinuierlichen Fall bleiben erhalten.
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|
Insbesondere: Ersetzung der Berechnung von Faltungssummen durch die Multiplikation von Spektren im z-Bereich.
|
|
|
|
\subsubsection{Rücktransformation}
|
|
\begin{equation}
|
|
x(n) = \Z^{-1}\left\{X(z)\right\} = \frac{1}{2\pi j} \oint_c X(z) z^{n-1} \d z
|
|
\end{equation}
|
|
Komplexes Integral: Integration über geschlossenen Weg in der Komplexen Ebene (\rightarrow Funktionentheorie, Residuensatz).
|
|
|
|
|
|
z-Transformation ist die Entwicklung von $x(n)$ in eine \textbf{Laurent-Reihe} zum $z=0$ (keine Potenzreihe, nur negative Exponenten für $z$).
|
|
\begin{equation}
|
|
\Z\left\{x(n)\right\} = x(0) + \frac{x(1)}{z} + \frac{x(2)}{z^2} + \dots
|
|
\end{equation}
|
|
\paragraph{Beispiel}: z-Transformation der Zeitreihen
|
|
\begin{align}
|
|
&\left\begin{array}{l}
|
|
h(n) = \{1,2,2,0,0,0,\dots\}\\
|
|
x(n) = \{1,1,0,1,0,0,\dots\}
|
|
\end{array}\right\} \text{siehe obiges zur Faltung} \\
|
|
&H(z) = 1 + 2z^{-1} + 2z^{-2} \\
|
|
&X(z) = 1+ z^{-1} + z^{-3}
|
|
\end{align}
|
|
|
|
Jetzt Multiplikation der Spektren: Polynommultiplikation
|
|
\begin{equation}
|
|
H(z)\cdot X(z) = 1 + 3z^{-1} + 4z^{-2} + 3z^{-3} + 2z^{-4} + 2z^{-5} = Y(z)
|
|
\end{equation}
|
|
Das entspricht Offensichtlich: der z-Transformation der Zeitreihe $y(n) = \{1,3,4,3,2,2,0,0,\dots\}$ \Rightarrow siehe Bsp. zur Faltung
|
|
|
|
Beobachtung:
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|
\begin{enumerate}[a)]
|
|
\item Der Wert vor dem Ausdruck $z^{-n}$ ist offensichtlich der Wert der Reihe zum Zeitpunkt $n$
|
|
\item Die Spektren $H(z)$ und $X(z)$ sind $<\infty$ für alle Werte von $\neq0$ \Rightarrow Konvergenz der z-Transformation
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
\subsubsection{Konvergenz der z-Transformation}
|
|
Die z-Transformation ist nur sinnvoll, wenn sie beschränkt ist.
|
|
Daher ist die Konvergenzuntersuchung der Reihe notwendig.
|
|
|
|
Definition eines Konvergenzgebietes:
|
|
\begin{equation}
|
|
R = \left\{z: \left\lvert \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n) z^{-n}\right\rvert < \infty\right\}
|
|
\end{equation}
|
|
Konvergenzregion $R$ umfasst alle Werte von $z$, für die der Betragswert der Summe endlich ist.
|
|
Um die Analyse zu strukturieren, kann man die Reihe in eine kausale Reihe und eine akausale Reihe aufteilen:
|
|
\begin{equation}
|
|
X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x(n) z^{-n} + \sum_{n=-\infty}^{-1} x(n)z^{-n} = X_\text{c}(z) + X_\text{a}(z)
|
|
\end{equation}
|
|
Es gilt:
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item $\abs*{X_\text{c}(z)} < \infty$ für $\abs*{z} > r_\text{c}$, d.h für alle $z$ außerhalb eines Konvergenzradius $r_\text{c}$
|
|
\item $\abs*{X_\text{a}(z)} < \infty$ für $\abs*{z} < r_\text{<}$, d.h für alle $z$ innerhalb eines Konvergenzradius $r_\text{a}$
|
|
\end{itemize}
|
|
Wobei $r_\text{c},\,r_\text{a}\in \R^+$.
|
|
|
|
In der z-Ebene:
|
|
\begin{figure}[H]
|
|
\centering
|
|
\includegraphics[width=0.48\textwidth]{img/vl10-z-konvergenz-kausal.png}
|
|
\includegraphics[width=0.48\textwidth]{img/vl10-z-konvergenz-akausal.png}\\
|
|
\includegraphics[width=0.96\textwidth]{img/vl10-z-konvergenz-beide.png}\\
|
|
\end{figure}
|
|
|
|
\paragraph{Beispiel für Konvergenzregion}
|
|
\begin{enumerate}[a)]
|
|
\item $x(n) = a^n$ wo $n\gt0$ sei (kausaler Fall) \\
|
|
\begin{align}
|
|
X(z) &= \sum_{n=0}^{\infty} a^nz^{-n} = \sum_{n=0}^{\infty} (az^{-1})^n = \\
|
|
\shortintertext{geometrische Reihe für $\abs*{\frac{a}{z}} <1$ \Rightarrow $\abs*{a} < \abs*{z}$}
|
|
&= \frac{1}{1-\frac{a}{z}}
|
|
\end{align}
|
|
\begin{center}
|
|
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{img/vl10-beispiel-kausal.png}
|
|
\end{center}
|
|
|
|
\item $x(n) = b^n$ für $n<0$
|
|
\begin{align}
|
|
X(z) &= \sum_{n=-\infty}^{-1} b^nz^{-n} = -1 + \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{z}{b}\right)^n =
|
|
\shortintertext{geometrische Reihe für $\abs*{\frac{z}{b}} <1$ \Rightarrow $\abs*{z} < \abs*{b}$}
|
|
&= -1 + \frac{1}{1-\frac{z}{b}}
|
|
\end{align}
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\begin{center}
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|
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{img/vl10-beispiel-akausal.png}
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|
\end{center}
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|
\item $x(n) = \cos(n\omega) ) \frac{1}{2}(\e^{jn\omega}+\e^{-jn\omega})$
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\begin{align}
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|
X(z) &= \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} (\e^{jn\omega}+\e^{-jn\omega})z^{-n}
|
|
= \frac{1}{2}\left[\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{\e^{j\omega}}{z}\right)^n + \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{\e^{-j\omega}}{z}\right)^{-n}\right] =\\
|
|
\shortintertext{$\abs*{z}>1$}
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|
&= \frac{1}{2}\left[\frac{1}{1-\frac{\e^{j\omega}}{z}} + \frac{1}{1-\frac{\e^{-j\omega}}{z}}\right] = \frac{z(z-\cos\omega)}{z^2-2z\cos\omega + 1}
|
|
\end{align}
|
|
\begin{center}
|
|
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{img/vl10-beispiel-cos.png}
|
|
\end{center}
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|
Sonderfall $\omega=0$ \Rightarrow $x(n)=1$ für $n\gt1,\,x(n)=u(n)$
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\begin{equation}
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|
X(Z) = \frac{z(z-1)}{z^2-2z+1}=\frac{z}{z-1}
|
|
\end{equation}
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\end{enumerate}
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\noindent\Rightarrow Lage von Polen und Nullstellen in der z-Ebene charakterisisert die Eigenschaften von Systemen
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hinsichtlich Stabilität!
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\subsubsection{Stabilitätskriterium im Frequenzbereich}
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Bei einem stabilen System war im Zeitbereich ein Kriterium:
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\begin{equation}
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\sum_{n=-\infty}^{\infty} \abs*{h(n)} < \infty
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|
\end{equation}
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Für die Übertragungsfunktion eines Kausalen Systems gilt:
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\begin{align}
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\abs*{H(z)} &= \abs*{\sum_{n=0}^{\infty} h(n)z^{-n}} \,\explUnder[\le]{Dreicksungleichung}\,\sum_{n=0}^{\infty} \abs*{h(n)}\cdot\abs*{z^{-n}} \\
|
|
\shortintertext{also ist für $\abs*{z} \gt 1$}
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\abs*{H(z)} &\le \abs*{\sum_{n=0}^{\infty} h(n)}
|
|
\end{align}
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\Rightarrow bei stabilem System ist $H(z)$ sicher beschränkt für $\abs{z}\gt1$. Ein Kausales System, das stabil ist, hat keine Pole auf oder außerhalb des Einheitskreises.
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Für unsere Beispiele gilt entsprechend:
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\begin{enumerate}[a)]
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\item stabil für $a<1$, offensichtlich klar auch im Zeitbereich
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\item stabil für $b>1$
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\item Pole für $z^2-2z \cos\omega+1=0$ \Rightarrow $z_{1/2} = \cos\omega\pm j\sin\omega$
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\begin{center}
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\includegraphics[width=0.4\textwidth]{img/vl10-beispiel-pole.png}
|
|
\end{center}
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|
\end{enumerate}
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Wenn man bei c) die Transformierte als Systemantwort interpretiert, dass ist dies die Reaktion des Systems auf einen Einheitsimpuls. Reaktion ist eine $\cos$-Schwingung undendlicher Dauer (ungedämpft).\\
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Für eine gedämpften $\cos$:
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\begin{equation}
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|
\Z \left\{a^n\cos n\omega\right\} = \frac{z(z-a\cos\omega)}{z^-2az\cos\omega + a^2}
|
|
\end{equation}
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|
\Rightarrow Pol bei $z_{1/2} = a\cos\omega \pm j a\sin\omega$ \Rightarrow stabil für $a<1$
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\subsubsection{Einige Korrespondenzen der z-Transformation}
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\newcolumntype{C}{>{$\displaystyle}c<{$}}
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\begin{center}
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\begingroup
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|
\renewcommand{\arraystretch}{3}
|
|
\begin{tabular}{C|C}
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|
f(n) & F(z) \\\hline\hline
|
|
\delta(n) & 1 \\\hline
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|
u(n) & \frac{z}{z-1} \\\hline
|
|
u(n)\,a^n & \frac{z}{z-a} \\\hline
|
|
u(n)\,\cos n\omega & \frac{z(z-\cos\omega)}{z^2-2z-\cos\omega+1} \\\hline
|
|
u(n)\,\sin n\omega & \frac{z\sin\omega}{z^2-2z\cos\omega + 1} \\\hline
|
|
u(n)\,n & \frac{z}{(z-1)^2} \\\hline
|
|
u(n)\,\cosh n\beta & \frac{z(z-\cosh\beta)}{z^2-2z\cosh\beta+1} \\\hline
|
|
u(n)\, \frac{1}{n!} & \e^\frac{1}{z}
|
|
\end{tabular}
|
|
\endgroup
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|
\end{center}
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\lecture{11}
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\subsubsection{Eigenschaften der einseitigen z-Tranformation}
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\begin{enumerate}[a)]
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\item \textbf{Linearität}: Linearkombination von k Zeitreihen
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\begin{equation}
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\Zvon{\sum_{k=-1}^{i} c_k x_k(n)} = \sum_{k=1}^{i}c_k \Zvon{x_k(n)}
|
|
\end{equation}
|
|
\item \textbf{Verschiebung im Zeitbereich}
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Sei y(n) die um $m$ Zeitpunkte nach rechts (später) verschobene kausale Zeitreihe $x(n)$, also $y(n) = x(n-m)$.
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Dann ist
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\begin{align}
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|
Y(z) &= \sum_{n=0}^{\infty}[x(n-m)]z^{-n} \explUnder[=]{subst $k=n-m$} \sum_{k=-m}^{\infty}x(k) z^{-m+k} \\
|
|
&= z^{-m} \explUnder[\sum_{k=0}^{\infty}]{da Kausalität vorausgesetzt kein Beitrag für $k=-m\dots-1$} x(k) z^{-k} = z^{-m} X(z)
|
|
\end{align}
|
|
Bei Linksverschiebung (früher) $y(n) = x(n+m)$:
|
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\begin{align}
|
|
Y(z) &= \sum_{n=0}^{\infty} x(n+m) z^{-n} \explUnder{k=n+m} \sum_{k=m}^{\infty}x(k) z^{+(m-k)} \\
|
|
&= z^{+m} \Big[\underbrace{\sum_{k=0}^{\infty} x(k)z^{-k}}_{X(z)} - \sum_{k=0}^{m-1} x(k) z^{-k} \Big] \\
|
|
\Rightarrow Y(z) &= z^{+m} \left(X(z)-\sum_{n=0}^{m-1}x(n)z^{-n}\right)
|
|
\end{align}
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|
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{img/vl11-z-verschoben.png}
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|
\item Ähnlichkeit:
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\begin{align}
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|
\Zvon{a^n x(n)} &= \sum_{n=0}^{\infty}a^n x(n) z^{-n} = \sum_{n=0}^{\infty}x(n)z(z\,a^{-1})^{-n} \\
|
|
&= X(z\, a^{-1})
|
|
\end{align}
|
|
\item \textbf{Faltungssatz}:
|
|
\begin{equation}
|
|
\Zvon{f(n) * g(n)} = F(z) \cdot G(z)
|
|
\end{equation}
|
|
Bei linearen Systemen ist
|
|
\begin{align}
|
|
y(n) &= h(n) * x(n) \\
|
|
Y(z) &= H(z) \cdot X(z)
|
|
\end{align}
|
|
wobei $H(z)$ die Überlappungsfunktion des Systems ist
|
|
\item Differentation der Bildfunktion:
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\begin{align}
|
|
-z \odv{F(z)}{z} = \Zvon{n\cdot f(n)} \\
|
|
\shortintertext{allgemein}
|
|
\left(-z \odv{}{z} \right)^k F(z) = \Zvon{n^k f(n)}
|
|
\end{align}
|
|
\end{enumerate}
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|
|
\subsubsection{Die z-Transformation bei linearen rekursiven Systemen}
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|
Die Klasse der kausalen linearen rekusriven Systeme ist beschreibbar durch:
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\begin{equation}
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|
\sum_{k=0}^{p}a_k y(n-k) = \sum_{k=0}^{q} b_k x(n-k)
|
|
\end{equation}
|
|
Nunmehr z-Transformation auf beiden Seiten:
|
|
\begin{align}
|
|
\Zvon{\sum_{k=0}^{p}a_k y(n-k)} &= \Zvon{\sum_{k=0}^{q} b_k x(n-k)} \\
|
|
\shortintertext{mit Linearitätssatz}
|
|
\sum_{k=0}^{p}a_k \Zvon{y(n-k)} &= \sum_{k=0}^{q} b_k \Zvon{x(n-k)} \\
|
|
\shortintertext{mit Vertauschungssatz}
|
|
\sum_{k=0}^{p}Y(z) z^{-k} &= \sum_{k=0}^{q} b_k X(z) z^{-k}
|
|
\end{align}
|
|
Daraus:
|
|
\begin{align}
|
|
H(z) &= \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{\sum_{k=0}^{q}b_k z^{-k}}{\sum_{k=0}^{p} a_k z^{-k}} \\
|
|
\Aboxed{
|
|
H(z) &= \frac{b_0 + b_1z^{-1} b_2z^{-2} + \dots + b_qz^{-q}}{a_0 + a_1z^{-1} a_2z^{-2} + \dots + a_pz^{-p}}
|
|
}
|
|
\end{align}
|
|
\Rightarrow Ein lineares, rekursives System hat immer eine in $z$ rationale Übertragungsfunktion.
|
|
Mit dem Hauptsatz der linearen Algebra lässt dies umschreiben zu
|
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\begin{align}
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|
H(z) &= c \frac{\prod_{k=1}^{q} \left(1-z_kz^{-1}\right)}{\prod_{k=1}^{p} \left(1-p_kz^{-1}\right)} \\
|
|
&= c \frac{\left(1-z_1 z^{-1}\right) \left(1-z_2 z^{-1}\right) \dots \left(1-z_q z^{-1}\right)}
|
|
{\left(1-p_1z^{-1}\right) \left(1-p_2z^{-1}\right) \dots \left(1-p_pz^{-1}\right)}
|
|
\end{align}
|
|
|
|
Für
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\begin{itemize}
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|
\item $z=z_k$: $H(z) = 0$ \Rightarrow Übertragungsfunktion hat eine Nullstelle, Systemausgang $=0$
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|
\item $z\to p_k$: $H(z) \to \infty$ \Rightarrow Übertragungsfunktion hat einen Pol, Systemausgang ist unendlich hoch
|
|
\end{itemize}
|
|
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|
\paragraph{Beispiel}
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\begin{align}
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H_1(z) &= \frac{b_0 + b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2}}{a_0 + a_1 z^{-1} + a_2 z^{-2}} \\
|
|
&= \frac{b_0 z^2 + b_1 z + b_2}{a_0 z^2 + a_1 z + a_2} \\
|
|
&= \frac{(z-z_1)(z-z_2)}{(z-p_1) + (z-p_2)} = \frac{(1-z_1 z^{-1})(1-z_2z^{-1})}{(1-p_1z^{-1})(1-p_2z^{-1})}
|
|
\shortintertext{wo:}
|
|
z_{1,2} &= \frac{-b_1\pm \sqrt{b_1^2-4b_0b_2}}{2b_0} \\
|
|
p_{1,2} &= \frac{-a_1\pm \sqrt{a_1^2-4a_0a_2}}{2a_0}
|
|
\end{align}
|
|
|
|
\begin{enumerate}
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|
\item $b_1 = b_2 = 0$\\\Rightarrow $H(z)$ hat zwei Pole bei $z=p_1$ und $z=p_2$ \Rightarrow ``Allpol-System''
|
|
\item $b_2 = 0$\\\Rightarrow $H(z)$ hat zwei Pole (wie bei Fall 1), eine Nullstelle bei $z=0$ und eine Nullstelle bei $z=\frac{-b_1}{b_0}$
|
|
\item keine Einschränkungen, d.h. Pole wie Fall 1, Nullstellen für $z=z_1$ und $z=z_2$
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
\subsubsection{Realisierungen}
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\begin{center}
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\includegraphics[width=0.8\textwidth]{img/vl11-z-beispiel.png}
|
|
\end{center}
|
|
Für das allgemeine, rekursive, lineare System ist die Beschreibungsgleichung
|
|
\begin{align}
|
|
\sum_{k=0}^{p} a_k y(n-k) = \sum_{k=0}^{q} b_k x(n-k)
|
|
\shortintertext{bzw:}
|
|
Y(z) \sum_{k=0}^{p} a_k z^{-k} = X(z) \sum_{k=0}^{q} b_k z^{-k}
|
|
\end{align}
|
|
Aus der Gleichung ist sofort ersichtlich, dass 3 Grundoperationen ausreichen:
|
|
\begin{enumerate}
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|
\item Multiplikation mit einer Konstanten
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|
\item Summation (Subtraktion)
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|
\item Verzögerung um \textbf{einen} Abtasttakt
|
|
\end{enumerate}
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|
Realisierung eines gewünschten Umformalgorithmus durch ein Rechenprogramm oder direkt durch Hardwarebausteine Multiplizierer, Summierer und Schieberegister, die in bestimmter Weise verknüpft werden.\\
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|
Prinzipiell können unterschiedliche Strukturen den gleichen Algorithmus realisieren.
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|
Bei endlicher Rechengenauigkeit bleiben jedoch Unterschiede bestehen.
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\paragraph{Blockdiagramme} geben die Struktur einer Realisierung an. 3 Bauelemente decken alle Anwendungen ab:
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\begin{enumerate}
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|
\item Multiplizierer mit einer Konstanten $a$ \\
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\includegraphics[width=0.5\textwidth]{img/vl11-block-Multiplizierer.png}
|
|
\item Addierer (Subtrahierer) \\
|
|
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{img/vl11-block-addierer.png}
|
|
\item Verzögerung, Zeitverschiebung um einen Abtasttakt\\
|
|
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{img/vl11-block-verzögerung.png}
|
|
\end{enumerate}
|
|
|
|
\paragraph{Beispiele}
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\begin{itemize}
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\item Nichtrekursives System \\
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|
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{img/vl11-bsp-nichtrekursiv.png} \\
|
|
\begin{align}
|
|
y(n) &= x(n) + x(n-1) - a\,x(n-2) \\
|
|
Y(z) &= X(z) (1 + z^{-1} - a\,z^{-2}) \\
|
|
H(z) &= \frac{Y(z)}{X(z)} = 1 + z^{-1} - a\,z^{-2} \\
|
|
\mathcal{Z}^{-1}\{H(z)\} &= \delta(n) + \delta(n-1) - a\,\delta(n-2)
|
|
\end{align}
|
|
\includegraphics[width=0.5\textwidth]{img/vl11-bsp-nichtrekursiv-H.png}
|
|
\begin{itemize}
|
|
\item System mit endlicher Impulsantwort, FIR
|
|
\item System hat zwei Verzögerungselemente, entspricht Grad des Polynoms
|
|
\end{itemize}
|
|
|
|
\item Rekursives System 1. Ordnung \\
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|
\includegraphics[width=0.8\textwidth]{img/vl11-bsp-rekursiv.png} \\
|
|
\begin{align}
|
|
y(n) &= x(n) + a\, y(n-1) \\
|
|
\end{align}
|
|
Impulsantwort: \\
|
|
\newcolumntype{C}{>{$}c<{$}} % math-mode version of "c" column type
|
|
\begin{tabular}{C|C|C}
|
|
n & x(n) & y(n) \\
|
|
0 & 1 & 1 \\
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|
1 & 0 & a \\
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|
2 & 0 & a^2 \\
|
|
3 & 0 & a^3 \\
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|
4 & 0 & a^4 \\
|
|
5 & 0 & a^5 \\
|
|
\end{tabular}\\
|
|
|
|
\Rightarrow System mit Impulsantwort von unendlich langer Dauer:
|
|
\begin{align}
|
|
Y(z) &= X(z) + a\,z^{-1} Y(z) \\
|
|
H(z) &= \frac{1}{1-a\,z^{-1}} = \frac{z}{z-a} \\
|
|
\mathcal{Z}^{-1}\{H(z)\} &= a^n u(n)
|
|
\end{align}
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|
Beachte: der Addierer darf nur Werte erhalten, die bereits berechnet wurden.
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|
Deshalb, in jedem Zyklus mindestens ein Verzögerer erforderlich!
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|
Kaskadierung dieses Systems ergibt rekursives System 2. Ordnung:\\
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\includegraphics[width=0.8\textwidth]{img/vl11-bsp-rekursiv-kaskadiert.png} \\
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|
Zwei Gleichungen
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\begin{align}
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w(n) &= x(n) + a\,w(n-1) \\
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|
y(n) &= w(n) + a\,y(n-1) \\
|
|
\Rightarrow y(n) &= x(n) + 2a\,y(n-1) - a^2 y(n-2) \\
|
|
Y(z) &= X(z) + 2a\,z^{-1} Y(z) - a^2z^{-2} Y(z) \\
|
|
\Rightarrow H(z) &= \frac{1}{1 - 2a\,z^{-1} + a^2z^{-2}} = \frac{1}{(1-a\,z^{-1})^2}
|
|
\end{align}
|
|
\Rightarrow Kaskadierung bedeutet Multiplikation der Übertragungsfunktion
|
|
\end{itemize}
|
|
\end{document}
|
|
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|