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@@ -527,11 +527,16 @@ Frequenzbereich}\label{beschreibung-linearer-systeme-im-frequenzbereich}
     \end{equation}
     Zeitsignalunktion nach Amplitudendichtespektrum:
     \begin{equation}
-        F(\omega) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} g(t)\e^{-j\omega t} d\omega
+        F(\omega) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\e^{-j\omega t} d t
     \end{equation}
-    Schreibweisen: - Fourier-Trafo: $\mathcal{F}\{f(t)\}=F(\omega)$ -
+
-    Rück-Trafo: $\mathcal{F}^{-1}\{F(\omega)\}=f(t)$ -
+    \def\rmapsto{\reflectbox{\multimap}}
-    $f(t) \text{ist korrespondierende}\,\, o- F(\omega)$
+    Schreibweisen: 
+    \begin{itemize}
+      \item Fourier-Trafo: $\mathcal{F}\{f(t)\}=F(\omega)$
+      \item Rück-Trafo: $\mathcal{F}^{-1}\{F(\omega)\}=f(t)$
+      \item $f(t) \rmapsto F(\omega)$ (\textit{$\rmapsto$ bedeutet "ist korrespondierende"})
+    \end{itemize}
 
     \begin{enumerate}
       \def\labelenumi{\alph{enumi}.}
@@ -552,9 +557,9 @@ Frequenzbereich}\label{beschreibung-linearer-systeme-im-frequenzbereich}
     Sonderfall: undendlich lang andauernde Schwingung, d.h. $T\to\infty$
     Grenzübergang:
     \begin{align}
-      \lim_{T\to\infty} F(\omega)= \lim_{T\to\infty}\Big[ 2\pi\frac{sin[(\omega_0-\omega)T]}{\pi(\omega_0-\omega)}\Big] = 2\pi\delta(\omega_0 - \omega) = 2\pi\delta(\omega-\omega_0) \\
+      \lim_{T\to\infty} F(\omega)= \lim_{T\to\infty}\Big[ 2\pi\frac{sin[(\omega_0-\omega)T]}{\pi(\omega_0-\omega)}\Big] &= 2\pi\delta(\omega_0 - \omega) = 2\pi\delta(\omega-\omega_0) &\\
       \intertext{d.h. es ist:}
-      \mathcal{F}\{\e^{\pm j \omega_0 t}\} = 2\pi \delta(\omega \mp \omega_0)
+      \mathcal{F}\{\e^{\pm j \omega_0 t}\} &= 2\pi \delta(\omega \mp \omega_0)
     \end{align}
     Damit Analyse für verschiedene andere Funktionen möglich: 
     \begin{enumerate}
@@ -766,7 +771,7 @@ Frequenzbereich}\label{beschreibung-linearer-systeme-im-frequenzbereich}
     \item 
       kausale Zeitreihe: $x \equiv 0$ für $n < 0$
     \item
-      akausale Zeitreihe: $x \ge 0$ für $n \ge 0$
+      akausale Zeitreihe: $x \equiv 0$ für $n < 0$
     \item
       zweiseitige Zeitreihe: Ist immer über die Kombination von kausaler und akausaler Zeitreihe möglich
     \item
@@ -1029,301 +1034,414 @@ Frequenzbereich}\label{beschreibung-linearer-systeme-im-frequenzbereich}
           \end{itemize}
           \Rightarrow System von nicht-rekursiven Operatoren einfacher, keine Stabilitätsbetrachtung erfolrderlich
 
-        \subsubsection{Die z-Transformation}
+      \subsection{Die z-Transformation}
-          Zunächst Betrachtung der Fourer-Transformation
+        Zunächst Betrachtung der Fourer-Transformation
-            \begin{equation}
+          \begin{equation}
-                F(\omega) = \int_{-\infty}^\infty f(t) \e^{-j\omega t} \d t
+              F(\omega) = \int_{-\infty}^\infty f(t) \e^{-j\omega t} \d t
-            \end{equation}
+          \end{equation}
-            Frage: Was ändert sich hier, wenn $f(t)$ ein zeitdiskretes (abgetastetes) Signal ist, das nur zu den Zeitpunkten $t=nT$ definiert ist?
+          Frage: Was ändert sich hier, wenn $f(t)$ ein zeitdiskretes (abgetastetes) Signal ist, das nur zu den Zeitpunkten $t=nT$ definiert ist?
-            \\DTFT (\neq DFT!) \textit{discrete-time Fourier transform}:
+          \\DTFT (\neq DFT!) \textit{discrete-time Fourier transform}:
-            \begin{equation}
+          \begin{equation}
-              \boxed{
+            \boxed{
-                X(\e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n) \e^{-jn\omega}
+              X(\e^{j\omega}) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n) \e^{-jn\omega}
-              }
+            }
-            \end{equation}
+          \end{equation}
-            wobei $w$ die digitale Frequenz $-\pi \le \omega \le +\pi$ darstellt, mit $\omega \in \R$.
+          wobei $w$ die digitale Frequenz $-\pi \le \omega \le +\pi$ darstellt, mit $\omega \in \R$.
-            \\
+          \\
-            IDTFT (inverse):
+          IDTFT (inverse):
-            \begin{equation}
+          \begin{equation}
-              \boxed{
+            \boxed{
-                x(n) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi}X(\e^{j\omega}) \e^{-jn\omega} \d \omega
+              x(n) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\pi}^{+\pi}X(\e^{j\omega}) \e^{-jn\omega} \d \omega
-              }
+            }
-            \end{equation}
+          \end{equation}
 
-            \begin{itemize}
+          \begin{itemize}
-              \item
+            \item
-                Integration wird Summation, da nur Beiträge zu den Abtastzeitpunkten (dazwischen nicht definiert)
+              Integration wird Summation, da nur Beiträge zu den Abtastzeitpunkten (dazwischen nicht definiert)
-              \item
+            \item
-                Statt kontinuierlicher Frequenz $\omega$ nun digitale Frequenz, da Spektrum periodisch, d-h- für $\omega \lessgtr \pi$ Wiederholung
+              Statt kontinuierlicher Frequenz $\omega$ nun digitale Frequenz, da Spektrum periodisch, d-h- für $\omega \lessgtr \pi$ Wiederholung
-                \\Um die Periodizität anzudeuten wird im Argument von $X$ $\omega$ durch $\e^{j\omega}$ ersetzt, $\e^{j\omega}$ ist ja mit $2\pi$ periodisch
+              \\Um die Periodizität anzudeuten wird im Argument von $X$ $\omega$ durch $\e^{j\omega}$ ersetzt, $\e^{j\omega}$ ist ja mit $2\pi$ periodisch
-            \end{itemize}
+          \end{itemize}
 
-            \textbf{Problem}: Für viele nichtperiodische Funktionen konvergiert das Integral $\int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} \d t$ nicht
+          \textbf{Problem}: Für viele nichtperiodische Funktionen konvergiert das Integral $\int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} \d t$ nicht
-            \\ Deshalb (im kausalen Fall) Dämpfung der Zeitfunktion mit $\e^{-\sigma t}$. Dann ist in Abhängigkeit von $f(t)$ für bestimmte Werte von $\sigma \ge 0$ Konvergenz herstellbar.
+          \\ Deshalb (im kausalen Fall) Dämpfung der Zeitfunktion mit $\e^{-\sigma t}$. Dann ist in Abhängigkeit von $f(t)$ für bestimmte Werte von $\sigma \ge 0$ Konvergenz herstellbar.
-            D.h. neues Integral:
+          D.h. neues Integral:
-            \begin{equation}
+          \begin{equation}
-              F_\sigma(\omega) = \int_0^\infty f(t) \e^-{j\omega t} \d t
+            F_\sigma(\omega) = \int_0^\infty f(t) \e^-{j\omega t} \d t
-            \end{equation}
+          \end{equation}
-            Nun Einführung der Komplexen Variablen $s=\sigma + j \omega$.
+          Nun Einführung der Komplexen Variablen $s=\sigma + j \omega$.
-            $F_\sigma(\omega)$ stellt eine ganze Schar von Spektraldichten dar, von denen einige nicht existieren können.
+          $F_\sigma(\omega)$ stellt eine ganze Schar von Spektraldichten dar, von denen einige nicht existieren können.
-            Betrachtung in der $s$-Ebene:
+          Betrachtung in der $s$-Ebene:
-            \begin{figure}[H]
+          \begin{figure}[H]
-              \centering
+            \centering
-              \includegraphics[width=0.8\textwidth]{img/vl09-s-ebene.png}
+            \includegraphics[width=0.8\textwidth]{img/vl09-s-ebene.png}
-              \caption{$s$-Ebene}
+            \caption{$s$-Ebene}
-            \end{figure}
+          \end{figure}
 
-            Schreibt man
+          Schreibt man
-            \begin{equation}
+          \begin{equation}
-              F(s) = \sigma_0^\infty f(t) \e^{(-\sigma + j\omega)t} \d t
+            F(s) = \sigma_0^\infty f(t) \e^{(-\sigma + j\omega)t} \d t
-            \end{equation}
+          \end{equation}
-            dann stellt $F(s)$ bei festem $\sigma$ die Spketraldichte der mit $\e^{-\sigma t}$ gedämpften Zeitfunktion $f(t)$ dar. Man bezeichnet $F(s)$ als einseitige \textbf{Laplace-Transformation} der Zeitfunktion $f(t)$.
+          dann stellt $F(s)$ bei festem $\sigma$ die Spketraldichte der mit $\e^{-\sigma t}$ gedämpften Zeitfunktion $f(t)$ dar. Man bezeichnet $F(s)$ als einseitige \textbf{Laplace-Transformation} der Zeitfunktion $f(t)$.
-            \\
+          \\
-            Die L-Transformation verfügt im wesenetlichen über die gleichen Eigenschaften wie die F-Transformation, deckt aber die meisten in der Praxis vorkommenden Fälle nichtperiodischer Funktionen ab.
+          Die L-Transformation verfügt im wesenetlichen über die gleichen Eigenschaften wie die F-Transformation, deckt aber die meisten in der Praxis vorkommenden Fälle nichtperiodischer Funktionen ab.
 
-            Schreibt man die L-Transformierte
+          Schreibt man die L-Transformierte
-            \begin{equation}
+          \begin{equation}
-              F(s) = \int_{0/-\infty}^{+\infty} f(t) \e^{-s t}
+            F(s) = \int_{0/-\infty}^{+\infty} f(t) \e^{-s t}
-            \end{equation}
+          \end{equation}
-            (wobei die die Integrationsgrenze $0$ die einseitige und $-\infty$ die zweiseitige bezeichnet) für zeitdiskrete Signale auf, so hat man (im zweiseitigen Fall):
+          (wobei die die Integrationsgrenze $0$ die einseitige und $-\infty$ die zweiseitige bezeichnet) für zeitdiskrete Signale auf, so hat man (im zweiseitigen Fall):
-            \begin{equation}
+          \begin{equation}
-              F(s) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) \e^{-s n T}              
+            F(s) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} f(n) \e^{-s n T}              
-            \end{equation}
+          \end{equation}
-            und mit der Abkürzung $z=\e^{sT}$ wird daraus die \textbf{z-Transformation}:
+          und mit der Abkürzung $z=\e^{sT}$ wird daraus die \textbf{z-Transformation}:
-            \def\Z{\mathcal{Z}}
+          \def\Z{\mathcal{Z}}
-            \begin{equation}
+          \begin{equation}
-              \boxed{
+            \boxed{
-                X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n) z^{-n} = \Z\left\{x(n)\right\}
+              X(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n) z^{-n} = \Z\left\{x(n)\right\}
-              }
+            }
-            \end{equation}
+          \end{equation}
 
 \lecture{10}
-            \begin{figure}[H]
+          \begin{figure}[H]
-              \centering
+            \centering
-              \includegraphics[width=0.8\textwidth]{img/vl10-z.png}
+            \includegraphics[width=0.8\textwidth]{img/vl10-z.png}
-            \end{figure}
+          \end{figure}
-            Die z-Transformation bildet eine diskrete Zahlenfolge in den z-Bereich ab.
+          Die z-Transformation bildet eine diskrete Zahlenfolge in den z-Bereich ab.
-            Die Vorteile der Laplace-Transformation im kontinuierlichen Fall bleiben erhalten.
+          Die Vorteile der Laplace-Transformation im kontinuierlichen Fall bleiben erhalten.
-            Insbesondere: Ersetzung der Berechnung von Faltungssummen durch die Multiplikation von Spektren im z-Bereich.
+          Insbesondere: Ersetzung der Berechnung von Faltungssummen durch die Multiplikation von Spektren im z-Bereich.
 
-            \paragraph{Rücktransformation}
+          \subsubsection{Rücktransformation}
-            \begin{equation}
+          \begin{equation}
-              x(n) = \Z^{-1}\left\{X(z)\right\} = \frac{1}{2\pi j} \oint_c X(z) z^{n-1} \d z
+            x(n) = \Z^{-1}\left\{X(z)\right\} = \frac{1}{2\pi j} \oint_c X(z) z^{n-1} \d z
-            \end{equation}
+          \end{equation}
-            Komplexes Integral: Integration über geschlossenen Weg in der Komplexen Ebene (\rightarrow Funktionentheorie, Residuensatz).
+          Komplexes Integral: Integration über geschlossenen Weg in der Komplexen Ebene (\rightarrow Funktionentheorie, Residuensatz).
 
 
-            z-Transformation ist die Entwicklung von $x(n)$ in eine \textbf{Laurent-Reihe} zum $z=0$ (keine Potenzreihe, nur negative Exponenten für $z$).
+          z-Transformation ist die Entwicklung von $x(n)$ in eine \textbf{Laurent-Reihe} zum $z=0$ (keine Potenzreihe, nur negative Exponenten für $z$).
-            \begin{equation}
+          \begin{equation}
-              \Z\left\{x(n)\right\} = x(0) + \frac{x(1)}{z} + \frac{x(2)}{z^2} + \dots
+            \Z\left\{x(n)\right\} = x(0) + \frac{x(1)}{z} + \frac{x(2)}{z^2} + \dots
-            \end{equation}
+          \end{equation}
-            \paragraph{Beispiel}: z-Transformation der Zeitreihen
+          \paragraph{Beispiel}: z-Transformation der Zeitreihen
-            \begin{align}
+          \begin{align}
-              &\left\begin{array}{l}
+            &\left\begin{array}{l}
-                h(n) = \{1,2,2,0,0,0,\dots\}\\
+              h(n) = \{1,2,2,0,0,0,\dots\}\\
-                x(n) = \{1,1,0,1,0,0,\dots\}
+              x(n) = \{1,1,0,1,0,0,\dots\}
-              \end{array}\right\} \text{siehe obiges zur Faltung} \\
+            \end{array}\right\} \text{siehe obiges zur Faltung} \\
-              &H(z) = 1 + 2z^{-1} + 2z^{-2} \\
+            &H(z) = 1 + 2z^{-1} + 2z^{-2} \\
-              &X(z) = 1+ z^{-1} + z^{-3}
+            &X(z) = 1+ z^{-1} + z^{-3}
-            \end{align}
+          \end{align}
 
-            Jetzt Multiplikation der Spektren: Polynommultiplikation
+          Jetzt Multiplikation der Spektren: Polynommultiplikation
-            \begin{equation}
+          \begin{equation}
-              H(z)\cdot X(z) = 1 + 3z^{-1} + 4z^{-2} + 3z^{-3} + 2z^{-4} + 2z^{-5} = Y(z)
+            H(z)\cdot X(z) = 1 + 3z^{-1} + 4z^{-2} + 3z^{-3} + 2z^{-4} + 2z^{-5} = Y(z)
-            \end{equation}
+          \end{equation}
-            Das entspricht Offensichtlich: der z-Transformation der Zeitreihe $y(n) = \{1,3,4,3,2,2,0,0,\dots\}$ \Rightarrow siehe Bsp. zur Faltung
+          Das entspricht Offensichtlich: der z-Transformation der Zeitreihe $y(n) = \{1,3,4,3,2,2,0,0,\dots\}$ \Rightarrow siehe Bsp. zur Faltung
 
-            Beobachtung:
+          Beobachtung:
-            \begin{enumerate}[a)]
+          \begin{enumerate}[a)]
-              \item Der Wert vor dem Ausdruck $z^{-n}$ ist offensichtlich der Wert der Reihe zum Zeitpunkt $n$
+            \item Der Wert vor dem Ausdruck $z^{-n}$ ist offensichtlich der Wert der Reihe zum Zeitpunkt $n$
-              \item Die Spektren $H(z)$ und $X(z)$ sind $<\infty$ für alle Werte von $\neq0$ \Rightarrow Konvergenz der z-Transformation
+            \item Die Spektren $H(z)$ und $X(z)$ sind $<\infty$ für alle Werte von $\neq0$ \Rightarrow Konvergenz der z-Transformation
-            \end{enumerate}
+          \end{enumerate}
 
-          \subsubsection{Konvergenz der z-Transformation}
+        \subsubsection{Konvergenz der z-Transformation}
-            Die z-Transformation ist nur sinnvoll, wenn sie beschränkt ist.
+          Die z-Transformation ist nur sinnvoll, wenn sie beschränkt ist.
-            Daher ist die Konvergenzuntersuchung der Reihe notwendig.
+          Daher ist die Konvergenzuntersuchung der Reihe notwendig.
 
-            Definition eines Konvergenzgebietes:
+          Definition eines Konvergenzgebietes:
-            \begin{equation}
+          \begin{equation}
-              R = \left\{z: \left\lvert \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n) z^{-n}\right\rvert < \infty\right\}
+            R = \left\{z: \left\lvert \sum_{n=-\infty}^{\infty} x(n) z^{-n}\right\rvert < \infty\right\}
-            \end{equation}
+          \end{equation}
-            Konvergenzregion $R$ umfasst alle Werte von $z$, für die der Betragswert der Summe endlich ist.
+          Konvergenzregion $R$ umfasst alle Werte von $z$, für die der Betragswert der Summe endlich ist.
-            Um die Analyse zu strukturieren, kann man die Reihe in eine kausale Reihe und eine akausale Reihe aufteilen:
+          Um die Analyse zu strukturieren, kann man die Reihe in eine kausale Reihe und eine akausale Reihe aufteilen:
-            \begin{equation}
+          \begin{equation}
-              X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x(n) z^{-n} + \sum_{n=-\infty}^{-1} x(n)z^{-n} = X_\text{c}(z) + X_\text{a}(z)
+            X(z) = \sum_{n=0}^{\infty} x(n) z^{-n} + \sum_{n=-\infty}^{-1} x(n)z^{-n} = X_\text{c}(z) + X_\text{a}(z)
-            \end{equation}
+          \end{equation}
-            Es gilt: 
+          Es gilt: 
-            \begin{itemize}
+          \begin{itemize}
-              \item $\abs*{X_\text{c}(z)} < \infty$ für $\abs*{z} > r_\text{c}$, d.h für alle $z$ außerhalb eines Konvergenzradius $r_\text{c}$
+            \item $\abs*{X_\text{c}(z)} < \infty$ für $\abs*{z} > r_\text{c}$, d.h für alle $z$ außerhalb eines Konvergenzradius $r_\text{c}$
-              \item $\abs*{X_\text{a}(z)} < \infty$ für $\abs*{z} < r_\text{<}$, d.h für alle $z$ innerhalb eines Konvergenzradius $r_\text{a}$
+            \item $\abs*{X_\text{a}(z)} < \infty$ für $\abs*{z} < r_\text{<}$, d.h für alle $z$ innerhalb eines Konvergenzradius $r_\text{a}$
-            \end{itemize}
+          \end{itemize}
-            Wobei $r_\text{c},\,r_\text{a}\in \R^+$.
+          Wobei $r_\text{c},\,r_\text{a}\in \R^+$.
 
-            In der z-Ebene:
+          In der z-Ebene:
-            \begin{figure}[H]
+          \begin{figure}[H]
-              \centering
+            \centering
-              \includegraphics[width=0.48\textwidth]{img/vl10-z-konvergenz-kausal.png}
+            \includegraphics[width=0.48\textwidth]{img/vl10-z-konvergenz-kausal.png}
-              \includegraphics[width=0.48\textwidth]{img/vl10-z-konvergenz-akausal.png}\\
+            \includegraphics[width=0.48\textwidth]{img/vl10-z-konvergenz-akausal.png}\\
-              \includegraphics[width=0.96\textwidth]{img/vl10-z-konvergenz-beide.png}\\
+            \includegraphics[width=0.96\textwidth]{img/vl10-z-konvergenz-beide.png}\\
-            \end{figure}
+          \end{figure}
 
-            \paragraph{Beispiel für Konvergenzregion}
+          \paragraph{Beispiel für Konvergenzregion}
-            \begin{enumerate}[a)]
+          \begin{enumerate}[a)]
-              \item $x(n) = a^n$ wo $n\gt0$ sei (kausaler Fall) \\
+            \item $x(n) = a^n$ wo $n\gt0$ sei (kausaler Fall) \\
-                \begin{align}
+              \begin{align}
-                  X(z) &= \sum_{n=0}^{\infty} a^nz^{-n} = \sum_{n=0}^{\infty} (az^{-1})^n = \\
+                X(z) &= \sum_{n=0}^{\infty} a^nz^{-n} = \sum_{n=0}^{\infty} (az^{-1})^n = \\
-                  \shortintertext{geometrische Reihe für $\abs*{\frac{a}{z}} <1$ \Rightarrow $\abs*{a} < \abs*{z}$}
+                \shortintertext{geometrische Reihe für $\abs*{\frac{a}{z}} <1$ \Rightarrow $\abs*{a} < \abs*{z}$}
-                       &= \frac{1}{1-\frac{a}{z}}
+                     &= \frac{1}{1-\frac{a}{z}}
-                \end{align}
+              \end{align}
-                \begin{center}
+              \begin{center}
-                  \includegraphics[width=0.5\textwidth]{img/vl10-beispiel-kausal.png}
+                \includegraphics[width=0.5\textwidth]{img/vl10-beispiel-kausal.png}
-                \end{center}
+              \end{center}
 
-              \item $x(n) = b^n$ für $n<0$
+            \item $x(n) = b^n$ für $n<0$
-                \begin{align}
+              \begin{align}
-                  X(z) &= \sum_{n=-\infty}^{-1} b^nz^{-n} = -1 + \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{z}{b}\right)^n =
+                X(z) &= \sum_{n=-\infty}^{-1} b^nz^{-n} = -1 + \sum_{n=0}^{\infty} \left( \frac{z}{b}\right)^n =
-                  \shortintertext{geometrische Reihe für $\abs*{\frac{z}{b}} <1$ \Rightarrow $\abs*{z} < \abs*{b}$}
+                \shortintertext{geometrische Reihe für $\abs*{\frac{z}{b}} <1$ \Rightarrow $\abs*{z} < \abs*{b}$}
-                       &= -1 + \frac{1}{1-\frac{z}{b}}
+                     &= -1 + \frac{1}{1-\frac{z}{b}}
-                \end{align}
+              \end{align}
-                \begin{center}
+              \begin{center}
-                  \includegraphics[width=0.5\textwidth]{img/vl10-beispiel-akausal.png}
+                \includegraphics[width=0.5\textwidth]{img/vl10-beispiel-akausal.png}
-                \end{center}
+              \end{center}
 
-              \item $x(n) = \cos(n\omega) ) \frac{1}{2}(\e^{jn\omega}+\e^{-jn\omega})$
+            \item $x(n) = \cos(n\omega) ) \frac{1}{2}(\e^{jn\omega}+\e^{-jn\omega})$
-                \begin{align}
+              \begin{align}
-                  X(z) &= \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} (\e^{jn\omega}+\e^{-jn\omega})z^{-n} 
+                X(z) &= \frac{1}{2} \sum_{n=0}^{\infty} (\e^{jn\omega}+\e^{-jn\omega})z^{-n} 
-                  = \frac{1}{2}\left[\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{\e^{j\omega}}{z}\right)^n + \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{\e^{-j\omega}}{z}\right)^{-n}\right] =\\
+                = \frac{1}{2}\left[\sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{\e^{j\omega}}{z}\right)^n + \sum_{n=0}^{\infty} \left(\frac{\e^{-j\omega}}{z}\right)^{-n}\right] =\\
-                  \shortintertext{$\abs*{z}>1$}
+                \shortintertext{$\abs*{z}>1$}
-                       &= \frac{1}{2}\left[\frac{1}{1-\frac{\e^{j\omega}}{z}} + \frac{1}{1-\frac{\e^{-j\omega}}{z}}\right] = \frac{z(z-\cos\omega)}{z^2-2z\cos\omega + 1}
+                     &= \frac{1}{2}\left[\frac{1}{1-\frac{\e^{j\omega}}{z}} + \frac{1}{1-\frac{\e^{-j\omega}}{z}}\right] = \frac{z(z-\cos\omega)}{z^2-2z\cos\omega + 1}
-                \end{align}
+              \end{align}
-                \begin{center}
+              \begin{center}
-                  \includegraphics[width=0.5\textwidth]{img/vl10-beispiel-cos.png}
+                \includegraphics[width=0.5\textwidth]{img/vl10-beispiel-cos.png}
-                \end{center}
+              \end{center}
-                Sonderfall $\omega=0$ \Rightarrow $x(n)=1$ für $n\gt1,\,x(n)=u(n)$
+              Sonderfall $\omega=0$ \Rightarrow $x(n)=1$ für $n\gt1,\,x(n)=u(n)$
-                \begin{equation}
+              \begin{equation}
-                  X(Z) = \frac{z(z-1)}{z^2-2z+1}=\frac{z}{z-1}
+                X(Z) = \frac{z(z-1)}{z^2-2z+1}=\frac{z}{z-1}
-                \end{equation}
+              \end{equation}
-            \end{enumerate}
+          \end{enumerate}
 
-            \noindent\Rightarrow Lage von Polen und Nullstellen in der z-Ebene charakterisisert die Eigenschaften von Systemen
+          \noindent\Rightarrow Lage von Polen und Nullstellen in der z-Ebene charakterisisert die Eigenschaften von Systemen
-            hinsichtlich Stabilität!
+          hinsichtlich Stabilität!
 
-          \subsubsection{Stabilitätskriterium im Frequenzbereich}
+        \subsubsection{Stabilitätskriterium im Frequenzbereich}
-            Bei einem stabilen System war im Zeitbereich ein Kriterium:
+          Bei einem stabilen System war im Zeitbereich ein Kriterium:
-            \begin{equation}
+          \begin{equation}
-              \sum_{n=-\infty}^{\infty} \abs*{h(n)} < \infty
+            \sum_{n=-\infty}^{\infty} \abs*{h(n)} < \infty
-            \end{equation}
+          \end{equation}
-            Für die Übertragungsfunktion eines Kausalen Systems gilt: 
+          Für die Übertragungsfunktion eines Kausalen Systems gilt: 
-            \begin{align}
+          \begin{align}
-              \abs*{H(z)} &= \abs*{\sum_{n=0}^{\infty} h(n)z^{-n}} \,\explUnder[\le]{Dreicksungleichung}\,\sum_{n=0}^{\infty} \abs*{h(n)}\cdot\abs*{z^{-n}} \\
+            \abs*{H(z)} &= \abs*{\sum_{n=0}^{\infty} h(n)z^{-n}} \,\explUnder[\le]{Dreicksungleichung}\,\sum_{n=0}^{\infty} \abs*{h(n)}\cdot\abs*{z^{-n}} \\
-              \shortintertext{also ist für $\abs*{z} \gt 1$}
+            \shortintertext{also ist für $\abs*{z} \gt 1$}
-              \abs*{H(z)} &\le \abs*{\sum_{n=0}^{\infty} h(n)}
+            \abs*{H(z)} &\le \abs*{\sum_{n=0}^{\infty} h(n)}
-            \end{align}
+          \end{align}
-            \Rightarrow bei stabilem System ist $H(z)$ sicher beschränkt für $\abs{z}\gt1$. Ein Kausales System, das stabil ist, hat keine Pole auf oder außerhalb des Einheitskreises.
+          \Rightarrow bei stabilem System ist $H(z)$ sicher beschränkt für $\abs{z}\gt1$. Ein Kausales System, das stabil ist, hat keine Pole auf oder außerhalb des Einheitskreises.
 
-            Für unsere Beispiele gilt entsprechend:
+          Für unsere Beispiele gilt entsprechend:
-            \begin{enumerate}[a)]
+          \begin{enumerate}[a)]
-              \item stabil für $a<1$, offensichtlich klar auch im Zeitbereich
+            \item stabil für $a<1$, offensichtlich klar auch im Zeitbereich
-              \item stabil für $b>1$
+            \item stabil für $b>1$
-              \item Pole für $z^2-2z \cos\omega+1=0$ \Rightarrow $z_{1/2} = \cos\omega\pm j\sin\omega$
+            \item Pole für $z^2-2z \cos\omega+1=0$ \Rightarrow $z_{1/2} = \cos\omega\pm j\sin\omega$
-                \begin{center}
+              \begin{center}
-                  \includegraphics[width=0.4\textwidth]{img/vl10-beispiel-pole.png}
+                \includegraphics[width=0.4\textwidth]{img/vl10-beispiel-pole.png}
-                \end{center}
+              \end{center}
-            \end{enumerate}
+          \end{enumerate}
-            Wenn man bei c) die Transformierte als Systemantwort interpretiert, dass ist dies die Reaktion des Systems auf einen Einheitsimpuls. Reaktion ist eine $\cos$-Schwingung undendlicher Dauer (ungedämpft).\\
+          Wenn man bei c) die Transformierte als Systemantwort interpretiert, dass ist dies die Reaktion des Systems auf einen Einheitsimpuls. Reaktion ist eine $\cos$-Schwingung undendlicher Dauer (ungedämpft).\\
-            Für eine gedämpften $\cos$:
+          Für eine gedämpften $\cos$:
-            \begin{equation}
+          \begin{equation}
-              \Z \left\{a^n\cos n\omega\right\} = \frac{z(z-a\cos\omega)}{z^-2az\cos\omega + a^2}
+            \Z \left\{a^n\cos n\omega\right\} = \frac{z(z-a\cos\omega)}{z^-2az\cos\omega + a^2}
-            \end{equation}
+          \end{equation}
-            \Rightarrow Pol bei $z_{1/2} = a\cos\omega \pm j a\sin\omega$ \Rightarrow stabil für $a<1$
+          \Rightarrow Pol bei $z_{1/2} = a\cos\omega \pm j a\sin\omega$ \Rightarrow stabil für $a<1$
 
-          \subsubsection{Einige Korrespondenzen der z-Transformation}
+        \subsubsection{Einige Korrespondenzen der z-Transformation}
-          \newcolumntype{C}{>{$\displaystyle}c<{$}}
+        \newcolumntype{C}{>{$\displaystyle}c<{$}}
-          \begin{center}
+        \begin{center}
-            \begingroup
+          \begingroup
-            \renewcommand{\arraystretch}{3}
+          \renewcommand{\arraystretch}{3}
-            \begin{tabular}{C|C}
+          \begin{tabular}{C|C}
-              f(n) & F(z) \\\hline\hline
+            f(n) & F(z) \\\hline\hline
-              \delta(n) & 1 \\\hline
+            \delta(n) & 1 \\\hline
-              u(n) & \frac{z}{z-1} \\\hline
+            u(n) & \frac{z}{z-1} \\\hline
-              u(n)\,a^n & \frac{z}{z-a} \\\hline
+            u(n)\,a^n & \frac{z}{z-a} \\\hline
-              u(n)\,\cos n\omega & \frac{z(z-\cos\omega)}{z^2-2z-\cos\omega+1} \\\hline
+            u(n)\,\cos n\omega & \frac{z(z-\cos\omega)}{z^2-2z-\cos\omega+1} \\\hline
-              u(n)\,\sin n\omega & \frac{z\sin\omega}{z^2-2z\cos\omega + 1} \\\hline
+            u(n)\,\sin n\omega & \frac{z\sin\omega}{z^2-2z\cos\omega + 1} \\\hline
-              u(n)\,n & \frac{z}{(z-1)^2} \\\hline
+            u(n)\,n & \frac{z}{(z-1)^2} \\\hline
-              u(n)\,\cosh n\beta & \frac{z(z-\cosh\beta)}{z^2-2z\cosh\beta+1} \\\hline
+            u(n)\,\cosh n\beta & \frac{z(z-\cosh\beta)}{z^2-2z\cosh\beta+1} \\\hline
-              u(n)\, \frac{1}{n!} & \e^\frac{1}{z}
+            u(n)\, \frac{1}{n!} & \e^\frac{1}{z}
-            \end{tabular}
+          \end{tabular}
-            \endgroup
+          \endgroup
-          \end{center}
+        \end{center}
 
 \lecture{11}
 
-        \subsubsection{Eigenschaften der einseitigen z-Tranformation}
+      \subsubsection{Eigenschaften der einseitigen z-Tranformation}
-        \begin{enumerate}[a)]
+      \begin{enumerate}[a)]
-            \item \textbf{Linearität}: Linearkombination von k Zeitreihen
+          \item \textbf{Linearität}: Linearkombination von k Zeitreihen
-              \begin{equation}
+            \begin{equation}
-                \Zvon{\sum_{k=-1}^{i} c_k x_k(n)} = \sum_{k=1}^{i}c_k \Zvon{x_k(n)}
+              \Zvon{\sum_{k=-1}^{i} c_k x_k(n)} = \sum_{k=1}^{i}c_k \Zvon{x_k(n)}
-              \end{equation}
+            \end{equation}
-            \item \textbf{Verschiebung im Zeitbereich}
+          \item \textbf{Verschiebung im Zeitbereich}
-              Sei y(n) die um $m$ Zeitpunkte nach rechts (später) verschobene kausale Zeitreihe $x(n)$, also $y(n) = x(n-m)$.
+            Sei y(n) die um $m$ Zeitpunkte nach rechts (später) verschobene kausale Zeitreihe $x(n)$, also $y(n) = x(n-m)$.
-              Dann ist
+            Dann ist
-              \begin{align}
+            \begin{align}
-                Y(z) &= \sum_{n=0}^{\infty}[x(n-m)]z^{-n} \explUnder[=]{subst $k=n-m$} \sum_{k=-m}^{\infty}x(k) z^{-m+k} \\
+              Y(z) &= \sum_{n=0}^{\infty}[x(n-m)]z^{-n} \explUnder[=]{subst $k=n-m$} \sum_{k=-m}^{\infty}x(k) z^{-m+k} \\
-                     &= z^{-m} \explUnder[\sum_{k=0}^{\infty}]{da Kausalität vorausgesetzt kein Beitrag für $k=-m\dots-1$} x(k) z^{-k} = z^{-m} X(z)
+                   &= z^{-m} \explUnder[\sum_{k=0}^{\infty}]{da Kausalität vorausgesetzt kein Beitrag für $k=-m\dots-1$} x(k) z^{-k} = z^{-m} X(z)
-              \end{align}
+            \end{align}
-              Bei Linksverschiebung (früher) $y(n) = x(n+m)$:
+            Bei Linksverschiebung (früher) $y(n) = x(n+m)$:
-              \begin{align}
+            \begin{align}
-                Y(z) &= \sum_{n=0}^{\infty} x(n+m) z^{-n} \explUnder{k=n+m} \sum_{k=m}^{\infty}x(k) z^{+(m-k)}  \\
+              Y(z) &= \sum_{n=0}^{\infty} x(n+m) z^{-n} \explUnder{k=n+m} \sum_{k=m}^{\infty}x(k) z^{+(m-k)}  \\
-                     &= z^{+m} \Big[\underbrace{\sum_{k=0}^{\infty} x(k)z^{-k}}_{X(z)} - \sum_{k=0}^{m-1} x(k) z^{-k} \Big] \\
+                   &= z^{+m} \Big[\underbrace{\sum_{k=0}^{\infty} x(k)z^{-k}}_{X(z)} - \sum_{k=0}^{m-1} x(k) z^{-k} \Big] \\
-                \Rightarrow Y(z) &= z^{+m} \left(X(z)-\sum_{n=0}^{m-1}x(n)z^{-n}\right)
+              \Rightarrow Y(z) &= z^{+m} \left(X(z)-\sum_{n=0}^{m-1}x(n)z^{-n}\right)
-              \end{align}
+            \end{align}
-              \includegraphics[width=0.8\textwidth]{img/vl11-z-verschoben.png}
+            \includegraphics[width=0.8\textwidth]{img/vl11-z-verschoben.png}
 
-            \item Ähnlichkeit:
+          \item Ähnlichkeit:
-              \begin{align}
+            \begin{align}
-                \Zvon{a^n x(n)} &= \sum_{n=0}^{\infty}a^n x(n) z^{-n} = \sum_{n=0}^{\infty}x(n)z(z\,a^{-1})^{-n} \\
+              \Zvon{a^n x(n)} &= \sum_{n=0}^{\infty}a^n x(n) z^{-n} = \sum_{n=0}^{\infty}x(n)z(z\,a^{-1})^{-n} \\
-                                &= X(z\, a^{-1})
+                              &= X(z\, a^{-1})
-              \end{align}
+            \end{align}
-            \item \textbf{Faltungssatz}:
+          \item \textbf{Faltungssatz}:
-              \begin{equation}
+            \begin{equation}
-                \Zvon{f(n) * g(n)} = F(z) \cdot G(z)
+              \Zvon{f(n) * g(n)} = F(z) \cdot G(z)
-              \end{equation}
+            \end{equation}
-              Bei linearen Systemen ist
+            Bei linearen Systemen ist
-              \begin{align}
+            \begin{align}
-                y(n) &= h(n) * x(n) \\
+              y(n) &= h(n) * x(n) \\
-                Y(z) &= H(z) \cdot X(z)
+              Y(z) &= H(z) \cdot X(z)
-              \end{align}
+            \end{align}
-              wobei $H(z)$ die Überlappungsfunktion des Systems ist
+            wobei $H(z)$ die Überlappungsfunktion des Systems ist
-            \item Differentation der Bildfunktion:
+          \item Differentation der Bildfunktion:
-              \begin{align}
+            \begin{align}
-                -z \odv{F(z)}{z} = \Zvon{n\cdot f(n)} \\
+              -z \odv{F(z)}{z} = \Zvon{n\cdot f(n)} \\
-                \shortintertext{allgemein}
+              \shortintertext{allgemein}
-                \left(-z \odv{}{z}  \right)^k F(z) = \Zvon{n^k f(n)}
+              \left(-z \odv{}{z}  \right)^k F(z) = \Zvon{n^k f(n)}
-              \end{align}
+            \end{align}
+        \end{enumerate}
+
+      \subsubsection{Die z-Transformation bei linearen rekursiven Systemen}
+        Die Klasse der kausalen linearen rekusriven Systeme ist beschreibbar durch:
+        \begin{equation}
+          \sum_{k=0}^{p}a_k y(n-k) = \sum_{k=0}^{q} b_k x(n-k)
+        \end{equation}
+        Nunmehr z-Transformation auf beiden Seiten:
+        \begin{align}
+          \Zvon{\sum_{k=0}^{p}a_k y(n-k)} &= \Zvon{\sum_{k=0}^{q} b_k x(n-k)} \\
+          \shortintertext{mit Linearitätssatz} 
+          \sum_{k=0}^{p}a_k \Zvon{y(n-k)} &= \sum_{k=0}^{q} b_k \Zvon{x(n-k)} \\
+          \shortintertext{mit Vertauschungssatz}
+          \sum_{k=0}^{p}Y(z) z^{-k} &= \sum_{k=0}^{q} b_k X(z) z^{-k}
+        \end{align}
+        Daraus:
+        \begin{align}
+          H(z) &= \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{\sum_{k=0}^{q}b_k z^{-k}}{\sum_{k=0}^{p} a_k z^{-k}} \\
+          \Aboxed{
+            H(z) &= \frac{b_0 + b_1z^{-1} b_2z^{-2} + \dots + b_qz^{-q}}{a_0 + a_1z^{-1} a_2z^{-2} + \dots + a_pz^{-p}}
+          }
+        \end{align}
+        \Rightarrow Ein lineares, rekursives System hat immer eine in $z$ rationale Übertragungsfunktion.
+        Mit dem Hauptsatz der linearen Algebra lässt dies umschreiben zu
+
+        \begin{align}
+          H(z) &= c \frac{\prod_{k=1}^{q} \left(1-z_kz^{-1}\right)}{\prod_{k=1}^{p} \left(1-p_kz^{-1}\right)} \\
+               &= c \frac{\left(1-z_1 z^{-1}\right) \left(1-z_2 z^{-1}\right) \dots \left(1-z_q z^{-1}\right)}
+               {\left(1-p_1z^{-1}\right) \left(1-p_2z^{-1}\right) \dots \left(1-p_pz^{-1}\right)}
+        \end{align}
+
+        Für 
+        \begin{itemize}
+          \item $z=z_k$: $H(z) = 0$ \Rightarrow Übertragungsfunktion hat eine Nullstelle, Systemausgang $=0$
+          \item $z\to p_k$: $H(z) \to \infty$ \Rightarrow Übertragungsfunktion hat einen Pol, Systemausgang ist unendlich hoch
+        \end{itemize}
+
+        \paragraph{Beispiel}
+          \begin{align}
+            H_1(z) &= \frac{b_0 + b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2}}{a_0 + a_1 z^{-1} + a_2 z^{-2}} \\
+                   &= \frac{b_0 z^2 + b_1 z + b_2}{a_0 z^2 + a_1 z + a_2} \\
+                   &= \frac{(z-z_1)(z-z_2)}{(z-p_1) + (z-p_2)} = \frac{(1-z_1 z^{-1})(1-z_2z^{-1})}{(1-p_1z^{-1})(1-p_2z^{-1})}
+                 \shortintertext{wo:}
+            z_{1,2} &= \frac{-b_1\pm \sqrt{b_1^2-4b_0b_2}}{2b_0} \\
+            p_{1,2} &= \frac{-a_1\pm \sqrt{a_1^2-4a_0a_2}}{2a_0} 
+          \end{align}
+
+          \begin{enumerate}
+            \item $b_1 = b_2 = 0$\\\Rightarrow $H(z)$ hat zwei Pole bei $z=p_1$ und $z=p_2$ \Rightarrow ``Allpol-System''
+            \item $b_2 = 0$\\\Rightarrow $H(z)$ hat zwei Pole (wie bei Fall 1), eine Nullstelle bei $z=0$ und eine Nullstelle bei $z=\frac{-b_1}{b_0}$
+            \item keine Einschränkungen, d.h. Pole wie Fall 1, Nullstellen für $z=z_1$ und $z=z_2$
           \end{enumerate}
 
-        \subsubsection{Die z-Transformation bei linearen rekursiven Systemen}
+        \subsubsection{Realisierungen}
-          Die Klasse der kausalen linearen rekusriven Systeme ist beschreibbar durch:
+          \begin{center}
-          \begin{equation}
+            \includegraphics[width=0.8\textwidth]{img/vl11-z-beispiel.png}
-            \sum_{k=0}^{p}a_k y(n-k) = \sum_{k=0}^{q} b_k x(n-k)
+          \end{center}
-          \end{equation}
+          Für das allgemeine, rekursive, lineare System ist die Beschreibungsgleichung
-          Nunmehr z-Transformation auf beiden Seiten:
           \begin{align}
-            \Zvon{\sum_{k=0}^{p}a_k y(n-k)} &= \Zvon{\sum_{k=0}^{q} b_k x(n-k)} \\
+            \sum_{k=0}^{p} a_k y(n-k) = \sum_{k=0}^{q} b_k x(n-k)
-            \shortintertext{mit Linearitätssatz} 
+            \shortintertext{bzw:}
-            \sum_{k=0}^{p}a_k \Zvon{y(n-k)} &= \sum_{k=0}^{q} b_k \Zvon{x(n-k)} \\
+            Y(z) \sum_{k=0}^{p} a_k z^{-k} = X(z) \sum_{k=0}^{q} b_k z^{-k}
-            \shortintertext{mit Vertauschungssatz}
-            \sum_{k=0}^{p}Y(z) z^{-k} &= \sum_{k=0}^{q} b_k X(z) z^{-k}
-          \end{align}
-          Daraus:
-          \begin{align}
-            H(z) &= \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{\sum_{k=0}^{q}b_k z^{k})}{\sum_{k=0}^{p} a_k z^{-k}} \\
-            \Aboxed{
-              H(z) &= \frac{b_0 + b_1z^{-1} b_2z^{-2} + \dots + b_qz^{-q}}{a_0 + a_1z^{-1} a_2z^{-2} + \dots + a_pz^{-p}}
-            }
           \end{align}
+          Aus der Gleichung ist sofort ersichtlich, dass 3 Grundoperationen ausreichen:
+          \begin{enumerate}
+            \item Multiplikation mit einer Konstanten
+            \item Summation (Subtraktion)
+            \item Verzögerung um \textbf{einen} Abtasttakt
+          \end{enumerate}
+          Realisierung eines gewünschten Umformalgorithmus durch ein Rechenprogramm oder direkt durch Hardwarebausteine Multiplizierer, Summierer und Schieberegister, die in bestimmter Weise verknüpft werden.\\
+          Prinzipiell können unterschiedliche Strukturen den gleichen Algorithmus realisieren.
+          Bei endlicher Rechengenauigkeit bleiben jedoch Unterschiede bestehen.
 
-            
+        \paragraph{Blockdiagramme} geben die Struktur einer Realisierung an. 3 Bauelemente decken alle Anwendungen ab:
+          \begin{enumerate}
+            \item Multiplizierer mit einer Konstanten $a$ \\
+              \includegraphics[width=0.5\textwidth]{img/vl11-block-Multiplizierer.png}
+            \item Addierer (Subtrahierer) \\
+              \includegraphics[width=0.5\textwidth]{img/vl11-block-addierer.png}
+            \item Verzögerung, Zeitverschiebung um einen Abtasttakt\\
+              \includegraphics[width=0.5\textwidth]{img/vl11-block-verzögerung.png}
+          \end{enumerate}
+
+        \paragraph{Beispiele} 
+          \begin{itemize}
+            \item Nichtrekursives System \\
+              \includegraphics[width=0.8\textwidth]{img/vl11-bsp-nichtrekursiv.png} \\
+              \begin{align}
+                y(n) &=  x(n) + x(n-1) - a\,x(n-2) \\
+                Y(z) &= X(z) (1 + z^{-1} - a\,z^{-2}) \\
+                H(z) &= \frac{Y(z)}{X(z)} = 1 + z^{-1} - a\,z^{-2} \\
+                \mathcal{Z}^{-1}\{H(z)\} &= \delta(n) + \delta(n-1) - a\,\delta(n-2)
+              \end{align}
+              \includegraphics[width=0.5\textwidth]{img/vl11-bsp-nichtrekursiv-H.png}
+              \begin{itemize}
+                \item System mit endlicher Impulsantwort, FIR
+                \item System hat zwei Verzögerungselemente, entspricht Grad des Polynoms
+              \end{itemize}
+
+            \item Rekursives System 1. Ordnung \\
+              \includegraphics[width=0.8\textwidth]{img/vl11-bsp-rekursiv.png} \\
+              \begin{align}
+                y(n) &=  x(n) + a\, y(n-1) \\
+              \end{align}
+              Impulsantwort: \\
+              \newcolumntype{C}{>{$}c<{$}} % math-mode version of "c" column type
+              \begin{tabular}{C|C|C}
+              n & x(n) & y(n) \\
+              0 & 1 & 1 \\
+              1 & 0 & a \\
+              2 & 0 & a^2 \\
+              3 & 0 & a^3 \\
+              4 & 0 & a^4 \\
+              5 & 0 & a^5 \\
+              \end{tabular}\\
+
+              \Rightarrow System mit Impulsantwort von unendlich langer Dauer:
+              \begin{align}
+                Y(z) &= X(z) + a\,z^{-1} Y(z) \\
+                H(z) &= \frac{1}{1-a\,z^{-1}} = \frac{z}{z-a} \\
+                \mathcal{Z}^{-1}\{H(z)\} &= a^n u(n)
+              \end{align}
+              Beachte: der Addierer darf nur Werte erhalten, die bereits berechnet wurden.
+              Deshalb, in jedem Zyklus mindestens ein Verzögerer erforderlich!
+
+              Kaskadierung dieses Systems ergibt rekursives System 2. Ordnung:\\
+              \includegraphics[width=0.8\textwidth]{img/vl11-bsp-rekursiv-kaskadiert.png} \\
+              Zwei Gleichungen
+              \begin{align}
+                w(n) &= x(n) + a\,w(n-1) \\
+                y(n) &= w(n) + a\,y(n-1) \\
+                \Rightarrow y(n) &= x(n) + 2a\,y(n-1) - a^2 y(n-2) \\
+                Y(z) &= X(z) + 2a\,z^{-1} Y(z) - a^2z^{-2} Y(z) \\
+                \Rightarrow H(z) &= \frac{1}{1 - 2a\,z^{-1} + a^2z^{-2}} = \frac{1}{(1-a\,z^{-1})^2}
+              \end{align}
+              \Rightarrow Kaskadierung bedeutet Multiplikation der Übertragungsfunktion
+          \end{itemize}
 \end{document}