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@@ -527,11 +527,16 @@ Frequenzbereich}\label{beschreibung-linearer-systeme-im-frequenzbereich}
     \end{equation}
     Zeitsignalunktion nach Amplitudendichtespektrum:
     \begin{equation}
-        F(\omega) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} g(t)\e^{-j\omega t} d\omega
+        F(\omega) = \frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty} f(t)\e^{-j\omega t} d t
     \end{equation}
-    Schreibweisen: - Fourier-Trafo: $\mathcal{F}\{f(t)\}=F(\omega)$ -
+
-    Rück-Trafo: $\mathcal{F}^{-1}\{F(\omega)\}=f(t)$ -
+    \def\rmapsto{\reflectbox{\multimap}}
-    $f(t) \text{ist korrespondierende}\,\, o- F(\omega)$
+    Schreibweisen: 
+    \begin{itemize}
+      \item Fourier-Trafo: $\mathcal{F}\{f(t)\}=F(\omega)$
+      \item Rück-Trafo: $\mathcal{F}^{-1}\{F(\omega)\}=f(t)$
+      \item $f(t) \rmapsto F(\omega)$ (\textit{$\rmapsto$ bedeutet "ist korrespondierende"})
+    \end{itemize}
 
     \begin{enumerate}
       \def\labelenumi{\alph{enumi}.}
@@ -552,9 +557,9 @@ Frequenzbereich}\label{beschreibung-linearer-systeme-im-frequenzbereich}
     Sonderfall: undendlich lang andauernde Schwingung, d.h. $T\to\infty$
     Grenzübergang:
     \begin{align}
-      \lim_{T\to\infty} F(\omega)= \lim_{T\to\infty}\Big[ 2\pi\frac{sin[(\omega_0-\omega)T]}{\pi(\omega_0-\omega)}\Big] = 2\pi\delta(\omega_0 - \omega) = 2\pi\delta(\omega-\omega_0) \\
+      \lim_{T\to\infty} F(\omega)= \lim_{T\to\infty}\Big[ 2\pi\frac{sin[(\omega_0-\omega)T]}{\pi(\omega_0-\omega)}\Big] &= 2\pi\delta(\omega_0 - \omega) = 2\pi\delta(\omega-\omega_0) &\\
       \intertext{d.h. es ist:}
-      \mathcal{F}\{\e^{\pm j \omega_0 t}\} = 2\pi \delta(\omega \mp \omega_0)
+      \mathcal{F}\{\e^{\pm j \omega_0 t}\} &= 2\pi \delta(\omega \mp \omega_0)
     \end{align}
     Damit Analyse für verschiedene andere Funktionen möglich: 
     \begin{enumerate}
@@ -766,7 +771,7 @@ Frequenzbereich}\label{beschreibung-linearer-systeme-im-frequenzbereich}
     \item 
       kausale Zeitreihe: $x \equiv 0$ für $n < 0$
     \item
-      akausale Zeitreihe: $x \ge 0$ für $n \ge 0$
+      akausale Zeitreihe: $x \equiv 0$ für $n < 0$
     \item
       zweiseitige Zeitreihe: Ist immer über die Kombination von kausaler und akausaler Zeitreihe möglich
     \item
@@ -1029,7 +1034,7 @@ Frequenzbereich}\label{beschreibung-linearer-systeme-im-frequenzbereich}
           \end{itemize}
           \Rightarrow System von nicht-rekursiven Operatoren einfacher, keine Stabilitätsbetrachtung erfolrderlich
 
-        \subsubsection{Die z-Transformation}
+      \subsection{Die z-Transformation}
         Zunächst Betrachtung der Fourer-Transformation
           \begin{equation}
               F(\omega) = \int_{-\infty}^\infty f(t) \e^{-j\omega t} \d t
@@ -1106,7 +1111,7 @@ Frequenzbereich}\label{beschreibung-linearer-systeme-im-frequenzbereich}
           Die Vorteile der Laplace-Transformation im kontinuierlichen Fall bleiben erhalten.
           Insbesondere: Ersetzung der Berechnung von Faltungssummen durch die Multiplikation von Spektren im z-Bereich.
 
-            \paragraph{Rücktransformation}
+          \subsubsection{Rücktransformation}
           \begin{equation}
             x(n) = \Z^{-1}\left\{X(z)\right\} = \frac{1}{2\pi j} \oint_c X(z) z^{n-1} \d z
           \end{equation}
@@ -1317,13 +1322,126 @@ Frequenzbereich}\label{beschreibung-linearer-systeme-im-frequenzbereich}
         \end{align}
         Daraus:
         \begin{align}
-            H(z) &= \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{\sum_{k=0}^{q}b_k z^{k})}{\sum_{k=0}^{p} a_k z^{-k}} \\
+          H(z) &= \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{\sum_{k=0}^{q}b_k z^{-k}}{\sum_{k=0}^{p} a_k z^{-k}} \\
           \Aboxed{
             H(z) &= \frac{b_0 + b_1z^{-1} b_2z^{-2} + \dots + b_qz^{-q}}{a_0 + a_1z^{-1} a_2z^{-2} + \dots + a_pz^{-p}}
           }
         \end{align}
+        \Rightarrow Ein lineares, rekursives System hat immer eine in $z$ rationale Übertragungsfunktion.
+        Mit dem Hauptsatz der linearen Algebra lässt dies umschreiben zu
 
+        \begin{align}
+          H(z) &= c \frac{\prod_{k=1}^{q} \left(1-z_kz^{-1}\right)}{\prod_{k=1}^{p} \left(1-p_kz^{-1}\right)} \\
+               &= c \frac{\left(1-z_1 z^{-1}\right) \left(1-z_2 z^{-1}\right) \dots \left(1-z_q z^{-1}\right)}
+               {\left(1-p_1z^{-1}\right) \left(1-p_2z^{-1}\right) \dots \left(1-p_pz^{-1}\right)}
+        \end{align}
 
+        Für 
+        \begin{itemize}
+          \item $z=z_k$: $H(z) = 0$ \Rightarrow Übertragungsfunktion hat eine Nullstelle, Systemausgang $=0$
+          \item $z\to p_k$: $H(z) \to \infty$ \Rightarrow Übertragungsfunktion hat einen Pol, Systemausgang ist unendlich hoch
+        \end{itemize}
+
+        \paragraph{Beispiel}
+          \begin{align}
+            H_1(z) &= \frac{b_0 + b_1 z^{-1} + b_2 z^{-2}}{a_0 + a_1 z^{-1} + a_2 z^{-2}} \\
+                   &= \frac{b_0 z^2 + b_1 z + b_2}{a_0 z^2 + a_1 z + a_2} \\
+                   &= \frac{(z-z_1)(z-z_2)}{(z-p_1) + (z-p_2)} = \frac{(1-z_1 z^{-1})(1-z_2z^{-1})}{(1-p_1z^{-1})(1-p_2z^{-1})}
+                 \shortintertext{wo:}
+            z_{1,2} &= \frac{-b_1\pm \sqrt{b_1^2-4b_0b_2}}{2b_0} \\
+            p_{1,2} &= \frac{-a_1\pm \sqrt{a_1^2-4a_0a_2}}{2a_0} 
+          \end{align}
+
+          \begin{enumerate}
+            \item $b_1 = b_2 = 0$\\\Rightarrow $H(z)$ hat zwei Pole bei $z=p_1$ und $z=p_2$ \Rightarrow ``Allpol-System''
+            \item $b_2 = 0$\\\Rightarrow $H(z)$ hat zwei Pole (wie bei Fall 1), eine Nullstelle bei $z=0$ und eine Nullstelle bei $z=\frac{-b_1}{b_0}$
+            \item keine Einschränkungen, d.h. Pole wie Fall 1, Nullstellen für $z=z_1$ und $z=z_2$
+          \end{enumerate}
+
+        \subsubsection{Realisierungen}
+          \begin{center}
+            \includegraphics[width=0.8\textwidth]{img/vl11-z-beispiel.png}
+          \end{center}
+          Für das allgemeine, rekursive, lineare System ist die Beschreibungsgleichung
+          \begin{align}
+            \sum_{k=0}^{p} a_k y(n-k) = \sum_{k=0}^{q} b_k x(n-k)
+            \shortintertext{bzw:}
+            Y(z) \sum_{k=0}^{p} a_k z^{-k} = X(z) \sum_{k=0}^{q} b_k z^{-k}
+          \end{align}
+          Aus der Gleichung ist sofort ersichtlich, dass 3 Grundoperationen ausreichen:
+          \begin{enumerate}
+            \item Multiplikation mit einer Konstanten
+            \item Summation (Subtraktion)
+            \item Verzögerung um \textbf{einen} Abtasttakt
+          \end{enumerate}
+          Realisierung eines gewünschten Umformalgorithmus durch ein Rechenprogramm oder direkt durch Hardwarebausteine Multiplizierer, Summierer und Schieberegister, die in bestimmter Weise verknüpft werden.\\
+          Prinzipiell können unterschiedliche Strukturen den gleichen Algorithmus realisieren.
+          Bei endlicher Rechengenauigkeit bleiben jedoch Unterschiede bestehen.
+
+        \paragraph{Blockdiagramme} geben die Struktur einer Realisierung an. 3 Bauelemente decken alle Anwendungen ab:
+          \begin{enumerate}
+            \item Multiplizierer mit einer Konstanten $a$ \\
+              \includegraphics[width=0.5\textwidth]{img/vl11-block-Multiplizierer.png}
+            \item Addierer (Subtrahierer) \\
+              \includegraphics[width=0.5\textwidth]{img/vl11-block-addierer.png}
+            \item Verzögerung, Zeitverschiebung um einen Abtasttakt\\
+              \includegraphics[width=0.5\textwidth]{img/vl11-block-verzögerung.png}
+          \end{enumerate}
+
+        \paragraph{Beispiele} 
+          \begin{itemize}
+            \item Nichtrekursives System \\
+              \includegraphics[width=0.8\textwidth]{img/vl11-bsp-nichtrekursiv.png} \\
+              \begin{align}
+                y(n) &=  x(n) + x(n-1) - a\,x(n-2) \\
+                Y(z) &= X(z) (1 + z^{-1} - a\,z^{-2}) \\
+                H(z) &= \frac{Y(z)}{X(z)} = 1 + z^{-1} - a\,z^{-2} \\
+                \mathcal{Z}^{-1}\{H(z)\} &= \delta(n) + \delta(n-1) - a\,\delta(n-2)
+              \end{align}
+              \includegraphics[width=0.5\textwidth]{img/vl11-bsp-nichtrekursiv-H.png}
+              \begin{itemize}
+                \item System mit endlicher Impulsantwort, FIR
+                \item System hat zwei Verzögerungselemente, entspricht Grad des Polynoms
+              \end{itemize}
+
+            \item Rekursives System 1. Ordnung \\
+              \includegraphics[width=0.8\textwidth]{img/vl11-bsp-rekursiv.png} \\
+              \begin{align}
+                y(n) &=  x(n) + a\, y(n-1) \\
+              \end{align}
+              Impulsantwort: \\
+              \newcolumntype{C}{>{$}c<{$}} % math-mode version of "c" column type
+              \begin{tabular}{C|C|C}
+              n & x(n) & y(n) \\
+              0 & 1 & 1 \\
+              1 & 0 & a \\
+              2 & 0 & a^2 \\
+              3 & 0 & a^3 \\
+              4 & 0 & a^4 \\
+              5 & 0 & a^5 \\
+              \end{tabular}\\
+
+              \Rightarrow System mit Impulsantwort von unendlich langer Dauer:
+              \begin{align}
+                Y(z) &= X(z) + a\,z^{-1} Y(z) \\
+                H(z) &= \frac{1}{1-a\,z^{-1}} = \frac{z}{z-a} \\
+                \mathcal{Z}^{-1}\{H(z)\} &= a^n u(n)
+              \end{align}
+              Beachte: der Addierer darf nur Werte erhalten, die bereits berechnet wurden.
+              Deshalb, in jedem Zyklus mindestens ein Verzögerer erforderlich!
+
+              Kaskadierung dieses Systems ergibt rekursives System 2. Ordnung:\\
+              \includegraphics[width=0.8\textwidth]{img/vl11-bsp-rekursiv-kaskadiert.png} \\
+              Zwei Gleichungen
+              \begin{align}
+                w(n) &= x(n) + a\,w(n-1) \\
+                y(n) &= w(n) + a\,y(n-1) \\
+                \Rightarrow y(n) &= x(n) + 2a\,y(n-1) - a^2 y(n-2) \\
+                Y(z) &= X(z) + 2a\,z^{-1} Y(z) - a^2z^{-2} Y(z) \\
+                \Rightarrow H(z) &= \frac{1}{1 - 2a\,z^{-1} + a^2z^{-2}} = \frac{1}{(1-a\,z^{-1})^2}
+              \end{align}
+              \Rightarrow Kaskadierung bedeutet Multiplikation der Übertragungsfunktion
+          \end{itemize}
 \end{document}